Mostre que, se p \neq q são ambos primos positivos, então:
a) \sqrt{p} é irracional
b) \sqrt{p q} é irracional

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se p\neq q são primos positivos, então \sqrt{p} e \sqrt{p\,q} são irracionais. O conteúdo usado será a prova por contradição aliada à unicidade da fatoração em primos: se assumirmos que uma raiz quadrada é racional, obteremos uma contradição no número de vezes que cada primo aparece na fatoração de um quadrado.

Passo 2

Prova de que \sqrt{p}$ é irracional. Suponha, por contradição, que \[\sqrt{p} = \frac{a}{b},\] onde \(a e b são inteiros positivos sem fator comum (a fração está em forma irredutível). Elevando ao quadrado,
p\,b^2 = a^2.
Como p divide o produto p\,b^2, concluímos que p\mid a^2, então p\mid a. Escrevendo a = p\,k, obtemos
p\,b^2 = p^2\,k^2 \quad\Longrightarrow\quad b^2 = p\,k^2.
Logo p\mid b^2 e então p\mid b. Assim a e b têm p em comum, contradizendo a irredutibilidade da fração \tfrac{a}{b}. Portanto \sqrt{p} é irracional.)

Passo 3

Prova de que \sqrt{p\,q} é irracional. Suponha, por contradição, que
\sqrt{p\,q} = \frac{a}{b},
com \gcd(a,b)=1. Elevando ao quadrado,
p\,q\,b^2 = a^2.
Na fatoração de a^2 todos os expoentes são pares. Mas no lado esquerdo cada primo p e q aparece com expoente ímpar (uma vez em p\,q). Isso contraria a unicidade da fatoração: não há como ter uma igualdade entre um número cuja fatoração tem primos em expoente ímpar e outro cuja fatoração exige expoentes pares. Logo \sqrt{p\,q} é irracional.

Resposta

\sqrt{p} e \sqrt{p\,q} são irracionais.

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