Mostre que, se
são ambos primos positivos, então:
a)
é irracional
b)
é irracional
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
são primos positivos, então
e
são irracionais. O conteúdo usado será a prova por contradição aliada à unicidade da fatoração em primos: se assumirmos que uma raiz quadrada é racional, obteremos uma contradição no número de vezes que cada primo aparece na fatoração de um quadrado.
Passo 2
Prova de que
e
são inteiros positivos sem fator comum (a fração está em forma irredutível). Elevando ao quadrado,
Como
divide o produto
, concluímos que
, então
. Escrevendo
, obtemos
Logo
e então
. Assim
e
têm
em comum, contradizendo a irredutibilidade da fração
. Portanto
é irracional.)
Passo 3
Prova de que
é irracional. Suponha, por contradição, que
com
. Elevando ao quadrado,
Na fatoração de
todos os expoentes são pares. Mas no lado esquerdo cada primo
e
aparece com expoente ímpar (uma vez em
). Isso contraria a unicidade da fatoração: não há como ter uma igualdade entre um número cuja fatoração tem primos em expoente ímpar e outro cuja fatoração exige expoentes pares. Logo
é irracional.