Mostre que se s=x(t) admite derivada até segunda ordem então vale
dd t(s^2 cdot d sd t)=2 s cdot d sd t+s^2 cdot d^2 sd t^2

Passo 1

Temos a função escalar s = x(t) que admite derivada até segunda ordem. O enunciado pede para mostrar que a derivada de s^2 cdot dsdt em relação a t satisfaz a relação desejada. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos as funções
u(t)=s^2 e v(t)=dsdt
Pela regra do produto, temos
ddtl(ucdot vr)=dudt,v+u,dvdt

Passo 3

Agora calculamos dudt. Como u(t)=s^2 e s=x(t), aplicando a regra da cadeia obtemos
dudt=ddt(s^2)=2scdotdsdt

Passo 4

Em seguida, v(t)=dsdt implica
dvdt=ddtl(dsdtr)=d^2sdt^2

Passo 5

Substituindo esses resultados na fórmula da regra do produto, fica
ddtl(s^2cdotdsdtr)=l(2scdotdsdtr)cdotdsdt+s^2cdotd^2sdt^2
Porém, agrupando os fatores de dsdt no primeiro termo, chegamos exatamente a
ddtl(s^2cdotdsdtr)=2scdotdsdt+s^2cdotd^2sdt^2

Resposta

2scdotdsdt+s^2cdotd^2sdt^2

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