Sejam
e
os vértices de um triângulo. Encontre o ponto
tal que a soma dos quadrados das distâncias do ponto
aos vértices seja a menor possível.
Passo 1
O enunciado pede o ponto
que minimiza a soma dos quadrados das distâncias de
aos vértices do triângulo de vértices
,
e
. O conteúdo envolvido é otimização de funções de duas variáveis e propriedades de soma de quadrados de distâncias.
Passo 2
Vamos chamar de
Aqui usamos a definição de distância euclidiana ao quadrado.
Passo 3
Para encontrar o mínimo, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Primeiro expandimos e simplificamos:
Logo as parciais são:
Passo 4
Igualando a zero, temos o sistema
que dá
Passo 5
Essa solução corresponde ao centróide do triângulo, que é exatamente o ponto que minimiza a soma dos quadrados das distâncias aos vértices. Portanto é o mínimo global de
.
Resposta
P\left(\tfrac{7}{3},1\right)