Sejam A(0,0), B(4,0) e C(3,3) os vértices de um triângulo. Encontre o ponto P(x, y) tal que a soma dos quadrados das distâncias do ponto P aos vértices seja a menor possível.

Passo 1

O enunciado pede o ponto (x,y) que minimiza a soma dos quadrados das distâncias de P aos vértices do triângulo de vértices A(0,0), B(4,0) e C(3,3). O conteúdo envolvido é otimização de funções de duas variáveis e propriedades de soma de quadrados de distâncias.

Passo 2

Vamos chamar de
f(x,y)=PA^2+PB^2+PC^2 = (x-0)^2+(y-0)^2 + (x-4)^2+(y-0)^2 + (x-3)^2+(y-3)^2
Aqui usamos a definição de distância euclidiana ao quadrado.

Passo 3

Para encontrar o mínimo, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Primeiro expandimos e simplificamos:
f(x,y)=3x^2 -2(0+4+3)x + constante + 3y^2 -2(0+0+3)y + constante
Logo as parciais são:
partial fpartial x=6x-2(0+4+3)=6x-14,
partial fpartial y=6y-2(0+0+3)=6y-6

Passo 4

Igualando a zero, temos o sistema
6x-14=0, 6y-6=0
que dá
x=146=73, y=66=1

Passo 5

Essa solução corresponde ao centróide do triângulo, que é exatamente o ponto que minimiza a soma dos quadrados das distâncias aos vértices. Portanto é o mínimo global de f.

Resposta

P\left(\tfrac{7}{3},1\right)

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