Mostre que:
não é homeomorfo a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a esfera
não é homeomorfa ao plano
.
O conteúdo que vamos usar é a noção de compacticidade em espaços métricos e o fato de que homeomorfismos preservam a propriedade de ser compacto.
O conteúdo que vamos usar é a noção de compacticidade em espaços métricos e o fato de que homeomorfismos preservam a propriedade de ser compacto.
Passo 2
Mostramos que
é compacto.
Em , o teorema de Heine–Borel diz que um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.
é limitado porque todos os pontos satisfazem
, logo ficam dentro da bola de raio
.
Além disso, é fechado em
pois é o conjunto zero do polinômio contínuo
.
Portanto, é compacto.
Em
Além disso,
Portanto,
Passo 3
Mostramos que
não é compacto.
Por exemplo, considere a família de abertos
Por exemplo, considere a família de abertos
Temos
, mas nenhuma subfamília finita desse recobrimento pode cobrir todo
, pois um número finito de discos de raio limitado deixa pontos arbitrariamente distantes de origem sem cobrir.
Logo, não satisfaz a condição de compacticidade.
Logo,
Passo 4
Homeomorfismos preservam compacticidade: se
é um homeomorfismo e
é compacto, então
também é compacto.
Se existisse um homeomorfismo , então
seria compacto, o que contradiz o resultado do Passo 3.
Se existisse um homeomorfismo
Resposta
Não existe homeomorfismo entre
e
, pois
é compacto e
não é.