Mostre que:
S^2:=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2+z^2=1 não é homeomorfo a R^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a esfera
;S^2=l(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2+z^2=1r
não é homeomorfa ao plano R^2.
O conteúdo que vamos usar é a noção de compacticidade em espaços métricos e o fato de que homeomorfismos preservam a propriedade de ser compacto.

Passo 2

Mostramos que S^2 é compacto.
Em R^3, o teorema de Heine–Borel diz que um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.
;S^2 é limitado porque todos os pontos satisfazem x^2+y^2+z^2=1, logo ficam dentro da bola de raio 1.
Além disso, ;S^2 é fechado em R^3 pois é o conjunto zero do polinômio contínuo (x,y,z)mapsto x^2+y^2+z^2-1.
Portanto, S^2 é compacto.

Passo 3

Mostramos que R^2 não é compacto.
Por exemplo, considere a família de abertos
;Un=l(x,y)inR^2mid x^2+y^2<n^2r, ninN
Temos cupn=1^inftyUn=R^2, mas nenhuma subfamília finita desse recobrimento pode cobrir todo R^2, pois um número finito de discos de raio limitado deixa pontos arbitrariamente distantes de origem sem cobrir.
Logo, R^2 não satisfaz a condição de compacticidade.

Passo 4

Homeomorfismos preservam compacticidade: se fcolon Xto Y é um homeomorfismo e X é compacto, então Y também é compacto.
Se existisse um homeomorfismo fcolon S^2toR^2, então R^2 seria compacto, o que contradiz o resultado do Passo 3.

Resposta

Não existe homeomorfismo entre S^2 e R^2, pois S^2 é compacto e R^2 não é.

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