Nos problemas abaixo encontre a solução geral dos sistemas dados:
X^prime=(lrr-1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 3 & -1) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de equações diferenciais
X' = A,X,
onde
A = -1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 3 & -1 ,
usando o método de autovalores e autovetores. Para isso precisamos (i) encontrar o polinômio característico de A e seus autovalores lambda, (ii) para cada lambda achar um autovetor v não nulo tal que (A-lambda I)v=0, e (iii) montar a combinação linear de soluções X(t)=sum Ci e^lambdai tvi.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0.
A - lambda I = -1-lambda & 1 & 0 1 & 2-lambda & 1 0 & 3 & -1-lambda
Fazendo a expansão, obtém-se
det(A-lambda I) =-(1+lambda)l(lambda^2-lambda-6r) =-(1+lambda)(lambda-3)(lambda+2)
Logo os autovalores são
lambda1=-1, lambda2=3 e lambda3=-2.

Passo 3

Para cada lambdai resolvemos (A-lambdai I)v=0:
  1. lambda1=-1:
A+I = 0 & 1 & 0 1 & 3 & 1 0 & 3 & 0
implica x2=0 e x1+x3=0. Tomando x3=1 dá o autovetor
v1 = -101
  1. lambda2=3:
A-3I = -4 & 1 & 0 1 & -1 & 1 0 & 3 & -4
implica x2=4x1 e x3=3x1. Tomando x1=1
v2 = 143
  1. lambda3=-2:
A+2I = 1 & 1 & 0 1 & 4 & 1 0 & 3 & 1
implica x1=-x2 e x3=-3x2. Tomando x2=1
v3 = -11-3

Passo 4

Como temos três autovalores distintos, o sistema é diagonalizável e a solução geral é
X(t) = C1e^-1t,v1 + C2e^3t,v2 + C3e^-2t,v3,
com C1,C2,C3 constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

X(t) = C1e^-t -101 + C2e^3t 143 + C3e^-2t -11-3

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