(1,0)
Mostre que B1=(1,2),(2,1) e B2=(1,4),(2,3) são bases de R^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
B1=(1,2),(2,1) e B2=(1,4),(2,3) são bases de R^2.
Em R^2, um conjunto de dois vetores é base se, e somente se, eles forem linearmente independentes.
Uma forma prática de verificar isso é calcular o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores: se o determinante for diferente de zero, então os vetores são LI e formam base.

Passo 2

Formamos a matriz de B1 colocando (1,2) e (2,1) como colunas:
A1 = 1 & 2 2 & 1
O determinante é
det(A1) = 1cdot1 - 2cdot2 = -3 neq 0
Logo, os vetores de B1 são linearmente independentes e, por terem dimensão 2, formam uma base de R^2.

Passo 3

Analogamente, para B2 colocamos (1,4) e (2,3) como colunas:
A2 = 1 & 4 2 & 3
O determinante é
det(A2) = 1cdot3 - 4cdot2 = -5 neq 0
Portanto, os vetores de B2 também são linearmente independentes e formam uma base de R^2.

Resposta

Tanto B1 quanto B2 são bases de R^2, pois os determinantes das matrizes formadas por seus vetores como colunas são -3 e -5, respectivamente, valores diferentes de zero.

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