(2,5) Mostre que B=1-x, 5+3 x-2 x^2, 1+3 x+5 x^2 é uma base de P2(R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
B = ,1 - x,;5 + 3x - 2x^2,;1 + 3x + 5x^2
é uma base de P2(R), o espaço dos polinômios de grau <=2, que tem dimensão 3. Basta mostrar que os três polinômios são linearmente independentes.

Passo 2

Para verificar independência linear, considere a combinação genérica
a(1 - x) + b(5 + 3x - 2x^2) + c(1 + 3x + 5x^2) = 0
como polinômio nulo. Igualando coeficientes de 1, x e x^2 obtemos o sistema
a + 5b + c = 0, -,a + 3b + 3c = 0, -,2b + 5c = 0

Passo 3

Escrevemos o sistema em forma matricial, tomando como colunas os vetores de coeficientes na base 1,x,x^2:
M = 1 & 5 & 1 -1 & 3 & 3 0 & -2 & 5

Passo 4

Calculamos o determinante de M:
det(M) =1cdot(3cdot5 - 3cdot(-2)) -5cdotl((-1)cdot5 - 3cdot0r) +1cdotl((-1)cdot(-2)-3cdot0r)
=1cdot(15+6)-5cdot(-5)+1cdot2 =21+25+2 =48neq0
Como det(M)neq0, o único solução é a=b=c=0, logo os polinômios são linearmente independentes.

Passo 5

Num espaço de dimensão 3, qualquer conjunto de 3 vetores (polinômios) linearmente independentes é base. Portanto, B é base de P2(R).

Resposta

B é base de P2(R) porque a matriz de coordenadas tem determinante 48neq0, garantindo independência linear de seus 3 elementos.

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