(1,0) Seja S=(1,1,1),(1,-1,0),(5,1,3). Determine uma base de R^3 que possua dois elementos de S.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = (1,1,1),;(1,-1,0),;(5,1,3)
e pede uma base de R^3 que contenha exatamente dois vetores de S.
Conteúdo: independência linear e completamento de base em R^3.

Passo 2

Escolhemos os dois primeiros vetores de S:
v1 = (1,1,1), v2=(1,-1,0)
Como v2 não é múltiplo escalar de v1, os dois são linearmente independentes e definem um plano em R^3.

Passo 3

Mostramos que o terceiro vetor de
Isso dá o sistema
Da terceira equação vem e as outras duas são satisfeitas. Logo .

Passo 4

Para completar uma base de
Se por absurdo , existiríam tais que
isto é,
Das duas primeiras equações seguiria . Portanto não está no plano.

Passo 5

Assim v1,v2,w=(1,1,1),(1,-1,0),(0,0,1) é um conjunto de três vetores linearmente independentes em R^3 e contém dois elementos de S.

Resposta

(1,1,1),,(1,-1,0),,(0,0,1)

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