Seja
. Determine uma base de
que possua dois elementos de
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede uma base de
que contenha exatamente dois vetores de
.
Conteúdo: independência linear e completamento de base em .
Conteúdo: independência linear e completamento de base em
Passo 2
Escolhemos os dois primeiros vetores de
:
Como
não é múltiplo escalar de
, os dois são linearmente independentes e definem um plano em
.
Passo 3
Mostramos que o terceiro vetor de
Isso dá o sistema
Da terceira equação vem e as outras duas são satisfeitas. Logo
.
Passo 4
Para completar uma base de
Se por absurdo
, existiríam
tais que
isto é,
Das duas primeiras equações seguiria . Portanto
não está no plano.
Passo 5
Assim
v1,v2,w=(1,1,1),(1,-1,0),(0,0,1) é um conjunto de três vetores linearmente independentes em
R^3 e contém dois elementos de
S .