Determine a posição relativa das retas abaixo e, se for caso, determine seu ponto de intersecção:
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar a posição relativa de duas retas em ℝ³ e, se elas se cruzarem, encontrar o ponto de interseção. O conteúdo aqui é retas no espaço: vamos precisar escrever cada reta na forma ponto + vetor diretor, comparar vetores diretores e, caso não sejam paralelos, resolver o sistema de equações paramétricas para achar o ponto em comum.
Passo 2
Escrevendo cada reta em forma vetorial: para r usamos o parâmetro lambda e para s o parâmetro mu. Então temos
r:,(x,y,z)=(0,1,0)+lambda,(2,-2,1),
s:,(x,y,z)=(2,4,11)+mu,(-4,5,0)
Passo 3
Comparando os vetores diretores vec vr=(2,-2,1) e vec vs=(-4,5,0), vemos que não existe escalar k tal que (2,-2,1)=k(-4,5,0). Logo, as retas não são paralelas nem coincidentes, restando verificar se se cortam em um ponto.
Passo 4
Para checar interseção, igualamos as coordenadas de r e s:
2lambda=2-4mu,
1-2lambda=4+5mu,
lambda=11(igualando as z)
Passo 5
Da terceira equação tiramos lambda=11. Substituindo em 2lambda=2-4mu vem
22=2-4muimplies-4mu=20impliesmu=-5
Passo 6
Checando a segunda equação:
1-2cdot11=1-22=-21e4+5(-5)=4-25=-21,
coerente. Portanto lambda=11 e mu=-5 dão o mesmo ponto.
Passo 7
Substituindo em r (ou em s) obtemos o ponto de interseção:
r(11)=(2cdot11,,1-2cdot11,,11)=(22,-21,11)
Resposta
As retas são concorrentes e intersectam-se em (22,-21,11).