Mostre que são isomorfos os seguintes espaços vetoriais:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial de matrizes reais de ordem 2,
, e
são isomorfos. Em teoria de espaços vetoriais, isso significa encontrar uma aplicação linear bijetora que preserve soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Definimos uma aplicação
. Para isso, seja
em
. Definimos
Passo 3
Mostramos que
é linear. Tomando
temos
Logo,
preserva soma e escalar, ou seja, é linear.
Passo 4
Provamos que
é bijetora.
Injetividade: se , então
, logo
é a matriz zero e o núcleo de
é trivial.
Sobrejetividade: dado , basta escolher
Injetividade: se
Sobrejetividade: dado
pois
. Assim,
atinge todo
.
Passo 5
Como
é linear e bijetora, concluímos que é um isomorfismo de espaços vetoriais. Portanto
Resposta
A aplicação
dada por
é um isomorfismo de espaços vetoriais, logo
.