Mostre que são isomorfos os seguintes espaços vetoriais:
M2 times 2 e R^4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial de matrizes reais de ordem 2, M2times2, e R^4 são isomorfos. Em teoria de espaços vetoriais, isso significa encontrar uma aplicação linear bijetora que preserve soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Definimos uma aplicação varphi: M2times2toR^4. Para isso, seja
A = a & b c & d
em M2times2. Definimos
varphi(A) = (a,b,c,d)

Passo 3

Mostramos que é linear. Tomando
temos
Logo, preserva soma e escalar, ou seja, é linear.

Passo 4

Provamos que varphi é bijetora.
Injetividade: se varphi(A)=(0,0,0,0), então a=b=c=d=0, logo A é a matriz zero e o núcleo de varphi é trivial.
Sobrejetividade: dado (x1,x2,x3,x4)inR^4, basta escolher
A=x1 & x2 x3 & x4
pois varphi(A)=(x1,x2,x3,x4). Assim, varphi atinge todo R^4.

Passo 5

Como varphi é linear e bijetora, concluímos que é um isomorfismo de espaços vetoriais. Portanto
M2times2congR^4

Resposta

A aplicação dada por
é um isomorfismo de espaços vetoriais, logo .

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