Exercício 14. (D.K. ex. 14.15) Defina
em
. Diferencie
duas vezes e prove que
é uma solução fundamental de
em
. Calcule
. Derive a fórmula
partindo dos resultados anteriores.
Passo 1
O enunciado define
e pede:
- Mostrar que
é solução fundamental do operador em . - Calcular a transformada de Fourier
. - A partir daí obter
Para resolver precisaremos usar derivação em sentido de distribuições (pois
tem canto em
), a convenção de Fourier
a propriedade
e o fato clássico
Passo 2
Calculemos
isto é
Agora, em distribuição
Mas , daí
Passo 3
Usamos a convenção em que
corresponde a
, de modo que
Sobre
temos
ou seja
Portanto
é solução fundamental de
.
Passo 4
Calculemos agora
É fórmula clássica que, para
,
Aqui
, logo
Passo 5
Do resultado conhecido
temos
Passo 6
Finalmente, seja
. Como
, pela propriedade de derivada da transformada
temos
Isolando
e interpretando
em sentido de valor principal,