Exercício 14. (D.K. ex. 14.15) Defina f(x)=e^-|x| em R. Diferencie f duas vezes e prove que 12 f é uma solução fundamental de I+D^2 em R. Calcule F(f). Derive a fórmula F(arctg(x))=pii P V(e^-|xi|xi) partindo dos resultados anteriores.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=e^-|x|, xinR,
e pede:
  1. Mostrar que tfrac12 f é solução fundamental do operador I+D^2 em R.
  2. Calcular a transformada de Fourier F(f).
  3. A partir daí obter
Fl(arctan xr) =pii,PV!l(e^-|xi|xir)
Para resolver precisaremos usar derivação em sentido de distribuições (pois f tem canto em x=0), a convenção de Fourier
F(g)(xi)=integral-infty^inftyg(x)e^-i xxi,dx,
a propriedade F(g')=ixi,F(g) e o fato clássico
integralRe^-i xxi/(1+x^2),dx=pi e^-|xi|

Passo 2

Calculemos
isto é
Agora, em distribuição
Mas , daí

Passo 3

Usamos a convenção em que D^2 corresponde a -d^2/dx^2, de modo que
(I+D^2)u = u - u''
Sobre f temos
f - f'' = f - (f-2de<a)=2de<a,
ou seja
(I+D^2)f=2de<a Longrightarrow (I+D^2)l(tfrac12 fr)=de<a
Portanto tfrac12e^-|x| é solução fundamental de I+D^2.

Passo 4

Calculemos agora
F(f)(xi) =integral-infty^inftye^-|x|e^-i xxi,dx
É fórmula clássica que, para a>0,
integralRe^-a|x|e^-i xxi,dx =2aa^2+xi^2
Aqui a=1, logo
F(f)(xi) =21+xi^2

Passo 5

Do resultado conhecido
integralRe^-i xxi1+x^2,dx =pi e^-|xi|,
temos
Fl(tfrac11+x^2r)(xi) =pi e^-|xi|

Passo 6

Finalmente, seja g(x)=arctan x. Como g'(x)=1/(1+x^2), pela propriedade de derivada da transformada
F(g')(xi) =ixi,F(g)(xi),
temos
ixi,F(arctan x)(xi) =Fl(tfrac11+x^2r)(xi) =pi e^-|xi|
Isolando F(arctan x) e interpretando 1/xi em sentido de valor principal,
F(arctan x)(xi) =pi,e^-|xi|i,xi =pii,PV!l(e^-|xi|xir)

Resposta

F(e^-|x|)(xi)=21+xi^2,
F(arctan x)(xi) =pii,PV!l(e^-|xi|xir)

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