Prove que o determinante abaixo é múltiplo de 12 sem desenvolvê-lo.
\left|\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 11 \\\\ 4 & 8 & 12 & 8 \\\\ 10 & 5 & 9 & 13 \\\\ 14 & 7 & -3 & 15 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado fornece a matriz quadrada 4\times4 cujas linhas são:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 11 \\\\ 4 & 8 & 12 & 8 \\\\ 10 & 5 & 9 & 13 \\\\ 14 & 7 & -3 & 15 \end{pmatrix}.
A pergunta é: provar que o determinante dessa matriz é múltiplo de 12, isto é, mostrar que 12 divide o determinante, sem desenvolver o determinante.

Passo 2

Mostrar que o determinante é múltiplo de 3.
Explicação didática do conceito usado: trabalhar em aritmética modular é útil aqui. Se todos os elementos de uma coluna são congruentes a 0 módulo 3 (isto é, são múltiplos de 3), então, visto que o determinante é uma combinação linear dos elementos dessa coluna com coeficientes inteiros (expansão por cofactores), a classe do determinante modulo 3 será 0. Em linguagem curta: se uma coluna é nula em \mathbb{Z}_3 então o determinante é 0 em \mathbb{Z}_3.
Aplicando ao caso: a terceira coluna da matriz é
\begin{pmatrix}3\\\ 12\\\ 9\\\ -3\end{pmatrix}.
Todos esses números são múltiplos de 3. Portanto, reduzindo a matriz módulo 3, a terceira coluna fica
\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
em \mathbb{Z}_3. Logo o determinante da matriz é congruente a 0 módulo 3; ou seja, 3 divide o determinante.

Passo 3

Mostrar que o determinante é múltiplo de 4.
Explicação didática do conceito usado: se uma linha (ou coluna) de uma matriz tem todos os seus elementos multiplicados por um inteiro k, então o determinante da matriz também é multiplicado por k (propriedade de multilinearidade do determinante em relação a cada linha). Em particular, se uma linha inteira é formada por múltiplos de k, pode-se fatorar k dessa linha e concluir que k divide o determinante.
Aplicando ao caso: a segunda linha da matriz é
\begin{pmatrix}4 & 8 & 12 & 8\end{pmatrix},
e todos esses números são múltiplos de 4. Podemos escrever a matriz como tendo a segunda linha igual a 4 vezes a linha \begin{pmatrix}1&2&3&2\end{pmatrix}. Portanto podemos fatorar 4 dessa linha e obter
\det(\text{matriz}) = 4\cdot \det(\text{matriz com segunda linha }(1,2,3,2)).
Como o determinante da matriz com segunda linha (1,2,3,2) é um inteiro, segue que 4 divide o determinante original.

Passo 4

Combinar as duas divisibilidades para concluir que o determinante é múltiplo de 12.
Explicação didática: já mostramos que 3 divide o determinante e que 4 divide o determinante. Os inteiros 3 e 4 são coprimos (isto é, \gcd(3,4)=1). Quando dois inteiros coprimos dividem um número, o produto deles também divide esse número; em símbolos, se 3\mid D e 4\mid D e \gcd(3,4)=1, então 12=3\cdot4\mid D. Portanto o determinante é múltiplo de 12.

Resposta

\,12\mid\det\begin{pmatrix}2&1&3&11\\\ 4&8&12&8\\\ 10&5&9&13\\\ 14&7&-3&15\end{pmatrix}

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