Dada uma matriz quadrada A, define-se o traço de A, simbolizado por \operatorname{tr}(A), como a soma dos elementos de sua diagonal principal. A partir dessas informações e considerando as matrizes
P=\left(\begin{array}{cc} 0,7 & 0,2 \\\\ 0,3 & 0,8 \end{array}\right), \quad Q=\left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\\\ 3 & 1 \end{array}\right)
e R=100 Q^{-1} P Q, determine o valor do quociente \frac{\operatorname{det}(R)}{\operatorname{tr}(R)}, em que \operatorname{det}(R) é o determinante da matriz R. Despreze, caso exista, a parte fracionária do resultado final obtido, após ter efetuado todos os cálculos solicitados.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Definição: o traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos da sua diagonal principal, \operatorname{tr}(A).
  • Matrizes fornecidas:
P=\begin{pmatrix}0,7 & 0,2 \\[4pt] 0,3 & 0,8\end{pmatrix}, \qquad Q=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}
(estes valores foram dados no enunciado).
  • Definição da matriz R:
R = 100\,Q^{-1}P Q.
O que o problema pede:
  • Calcular o quociente \dfrac{\operatorname{det}(R)}{\operatorname{tr}(R)}.
  • Depois de efetuar todos os cálculos, desprezar (remover) a parte fracionária do resultado final obtido.]

Passo 2

Vamos reunir e explicar as propriedades e fórmulas que serão usadas (cada uma com o que as letras significam):
  • Para qualquer matriz quadrada A de ordem n e escalar k,
\operatorname{det}(kA)=k^{n}\operatorname{det}(A).
Aqui n é a dimensão da matriz (no nosso caso n=2), k é um número real e \operatorname{det} é o determinante.
  • Para matrizes quadradas M e N da mesma ordem,
\operatorname{det}(MN)=\operatorname{det}(M)\,\operatorname{det}(N).
  • A inversa de uma matriz Q satisfaz \operatorname{det}(Q^{-1})=\dfrac{1}{\operatorname{det}(Q)}, logo \operatorname{det}(Q^{-1})\operatorname{det}(Q)=1.
  • Propriedade do traço: para matrizes quadradas compatíveis vale a cyclicidade parcial
\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).
Dessa propriedade segue que, para matriz invertível Q,
\operatorname{tr}(Q^{-1}P Q)=\operatorname{tr}(P).
  • Fórmula do determinante para matriz 2\times2: se M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} então
\operatorname{det}(M)=ad-bc.
  • Fórmula do traço para 2\times2: \operatorname{tr}(M)=a+d.
Vou usar essas propriedades para simplificar a expressão \dfrac{\operatorname{det}(R)}{\operatorname{tr}(R)} antes de calcular entradas numéricas.

Passo 3

Aplicando as propriedades a R=100\,Q^{-1}P Q:
Primeiro a determinante de R.
\operatorname{det}(R)=\operatorname{det}\big(100\,Q^{-1}P Q\big).
Como 100 é escalar multiplicando uma matriz 2\times2, usa-se \operatorname{det}(100M)=100^{2}\operatorname{det}(M). Então
\operatorname{det}(R)=100^{2}\operatorname{det}(Q^{-1}P Q).
Pela multiplicatividade do determinante,
\operatorname{det}(Q^{-1}P Q)=\operatorname{det}(Q^{-1})\operatorname{det}(P)\operatorname{det}(Q).
Como \operatorname{det}(Q^{-1})\operatorname{det}(Q)=1, obtemos
\operatorname{det}(Q^{-1}P Q)=\operatorname{det}(P).
Portanto
\operatorname{det}(R)=100^{2}\operatorname{det}(P)=10{,}000\operatorname{det}(P).
Agora o traço de R.
\operatorname{tr}(R)=\operatorname{tr}\big(100\,Q^{-1}P Q\big)=100\,\operatorname{tr}(Q^{-1}P Q).
Pela propriedade da cyclicidade do traço \operatorname{tr}(Q^{-1}P Q)=\operatorname{tr}(P). Logo
\operatorname{tr}(R)=100\,\operatorname{tr}(P).
Com isso a razão simplifica:
\frac{\operatorname{det}(R)}{\operatorname{tr}(R)} =\frac{10{,}000\operatorname{det}(P)}{100\,\operatorname{tr}(P)} =100\cdot\frac{\operatorname{det}(P)}{\operatorname{tr}(P)}.

Passo 4

Calcular \operatorname{det}(P) e \operatorname{tr}(P) explicitamente usando P=\begin{pmatrix}0,7 & 0,2\\[4pt] 0,3 & 0,8\end{pmatrix}.
Pela fórmula do determinante 2\times2,
\operatorname{det}(P)=0,7\cdot 0,8 - 0,2\cdot 0,3.
Fazendo as multiplicações:
0,7\cdot 0,8 = 0,56,\qquad 0,2\cdot 0,3 = 0,06.
Logo
\operatorname{det}(P)=0,56-0,06=0,50.
O traço é a soma da diagonal:
\operatorname{tr}(P)=0,7+0,8=1,5.]

Passo 5

Substituindo em \displaystyle 100\cdot\frac{\operatorname{det}(P)}{\operatorname{tr}(P)}:
\frac{\operatorname{det}(R)}{\operatorname{tr}(R)} =100\cdot\frac{0,50}{1,5}.
Simplificando a fração:
\frac{0,50}{1,5}=\frac{1}{3},
portanto
\frac{\operatorname{det}(R)}{\operatorname{tr}(R)}=100\cdot\frac{1}{3}=\frac{100}{3}\approx 33{,}333\ldots

Passo 6

O enunciado pede para desprezar a parte fracionária do resultado final obtido. Isso significa tomar apenas a parte inteira (a parte antes da vírgula), ou seja:
\left\lfloor \frac{100}{3}\right\rfloor = 33.

Resposta

33

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