Dada uma matriz quadrada A, define-se o traço de A, simbolizado por \operatorname{tr}(A), como a soma dos elementos de sua diagonal principal. A partir dessas informações e considerando as matrizes
e R=100 Q^{-1} P Q, determine o valor do quociente \frac{\operatorname{det}(R)}{\operatorname{tr}(R)}, em que \operatorname{det}(R) é o determinante da matriz R. Despreze, caso exista, a parte fracionária do resultado final obtido, após ter efetuado todos os cálculos solicitados.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Definição: o traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos da sua diagonal principal, \operatorname{tr}(A).
A inversa de uma matriz Q satisfaz \operatorname{det}(Q^{-1})=\dfrac{1}{\operatorname{det}(Q)}, logo \operatorname{det}(Q^{-1})\operatorname{det}(Q)=1.
Propriedade do traço: para matrizes quadradas compatíveis vale a cyclicidade parcial
\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).
Dessa propriedade segue que, para matriz invertível Q,
O enunciado pede para desprezar a parte fracionária do resultado final obtido. Isso significa tomar apenas a parte inteira (a parte antes da vírgula), ou seja: