Mostre que u e v são ortogonais se, e somente se, u cdot v=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que dois vetores u e v são ortogonais se, e somente se, o produto escalar deles for zero, isto é,
uperpv Long<=ftrightarrow ucdotv=0
O conteúdo que vamos usar é a definição geométrica do produto escalar em termos do ângulo theta entre os vetores:
ucdotv=|u|;|v|costheta

Passo 2

Suponha primeiro que u e v são ortogonais, ou seja, o ângulo entre eles é theta=90^circ (ou pi/2 radianos). Nesse caso
costheta=cosl(90^circr)=0,
portanto da fórmula do produto escalar obtemos
ucdotv =|u|;|v|costheta =|u|;|v|cdot 0 =0
Isso prova a implicação “ uperpv implies ucdotv=0”.

Passo 3

Agora suponha que ucdotv=0. Pela definição,
0=ucdotv =|u|;|v|costheta
Se |u|=0 ou |v|=0, um dos vetores é o vetor nulo, e o vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor, então uperpv.
Se ambos são não nulos, então |u|neq0 e |v|neq0, o que obriga costheta=0. Logo
theta=90^circ Longrightarrow uperpv
Isso prova a implicação “ ucdotv=0 implies uperpv”.

Resposta

Portanto, mostramos que
uperpv Long<=ftrightarrow ucdotv=0

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