Mostre que
e
são ortogonais se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que dois vetores
e
são ortogonais se, e somente se, o produto escalar deles for zero, isto é,
O conteúdo que vamos usar é a definição geométrica do produto escalar em termos do ângulo
entre os vetores:
Passo 2
Suponha primeiro que
e
são ortogonais, ou seja, o ângulo entre eles é
(ou
radianos). Nesse caso
portanto da fórmula do produto escalar obtemos
Isso prova a implicação “
”.
Passo 3
Agora suponha que
. Pela definição,
Se
ou
, um dos vetores é o vetor nulo, e o vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor, então
.
Se ambos são não nulos, então e
, o que obriga
. Logo
Se ambos são não nulos, então
Isso prova a implicação “
”.
Resposta
Portanto, mostramos que