Sendo E=(e1, e2, e3) base, e
f1=e1+e2+e3, f2=e1+e2, f3=e3
decida se F=(f1, f2, f3) é base.

Passo 1

O enunciado dá uma base E=(vec e1,vec e2,vec e3) e define três vetores em função de E:
vec f1 = vec e1 + vec e2 + vec e3, vec f2 = vec e1 + vec e2, vec f3 = vec e3
Queremos saber se F=(vec f1,vec f2,vec f3) também forma uma base de R^3. Para isso, basta verificar se esses vetores são linearmente independentes (ou seja, se a matriz de troca de base tem determinante não nulo).

Passo 2

Escrevemos a matriz A cujas colunas são as coordenadas de vec f1,vec f2,vec f3 na base E. Como cada vec ei tem coordenada 1 na sua posição e 0 nas outras, temos
A = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 ,
onde a primeira coluna vem de vec f1, a segunda de vec f2 e a terceira de vec f3.

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Usando expansão por cofatores na primeira linha,
det(A) =1cdot det1 & 00 & 1 -1cdot det1 & 01 & 1 +0cdot(cdots) =1cdot(1cdot1-0cdot0)-1cdot(1cdot1-0cdot1) =1-1 =0

Passo 4

Como det(A)=0, os vetores vec f1,vec f2,vec f3 são linearmente dependentes. De fato,
vec f1 - vec f2 - vec f3 =(vec e1+vec e2+vec e3)-(vec e1+vec e2)-vec e3 =vec 0

Resposta

F=(vec f1,vec f2,vec f3) não é base, pois seus vetores são linearmente dependentes.

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