Mostre que f(z) satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann em z_{0}=0, mas f^{\prime}(0) não existe em cada caso: f(z)=\left\{\begin{array}{l}0, \text { se } x y=0 \\\\ 1, \text { se } x y \neq 0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}\) (escrita em coordenadas \(z=x+iy\)) definida por
\[f(z)=\begin{cases} 0, & \text{se } x y = 0,\\[4pt] 1, & \text{se } x y \neq 0, \end{cases}
e pede duas coisas em z_0=0\]:
- mostrar que as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em \(z_0=0;
- mostrar que f'(0) (a derivada complexa de f em 0) não existe.
Informações relevantes que temos:
f é real-valued (ou seja, a parte imaginária é zero em toda parte);
em pontos onde x=0 ou y=0 (os eixos), f=0; nos outros pontos f=1;
no ponto de interesse z_0=0 vale f(0)=0.]
Passo 2
Vamos separar f em suas partes real e imaginária: escrevemos f(z)=u(x,y)+i v(x,y). Aqui a função é real, então
u(x,y)=f(x+iy),\qquad v(x,y)=0 \text{ para todo }(x,y).
Portanto v\equiv 0.
Lembra do que são as equações de Cauchy–Riemann? São as igualdades entre derivadas parciais que, quando satisfeitas (e sob hipóteses de continuidade das parciais), garantem diferenciabilidade complexa. Escrevendo-as:
u_x(x,y)=v_y(x,y),\qquad u_y(x,y)=-v_x(x,y).
Aqui u_x denota \displaystyle u_x=\frac{\partial u}{\partial x} e u_y=\frac{\partial u}{\partial y}, definidos como limites no sentido usual:
Portanto, no ponto (0,0) as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas:
u_x(0,0)=0=v_y(0,0),\qquad u_y(0,0)=0=-v_x(0,0).
(Nessa etapa vale notar: as derivadas parciais existem no ponto e as igualdades acima são válidas. Mas atenção — isso não garante ainda a existência da derivada complexa; falamos mais sobre isso no próximo passo.)
Passo 4
Pequena lição: por que ter as equações de Cauchy–Riemann num ponto não garante a derivabilidade complexa?
As equações de Cauchy–Riemann em um ponto são necessárias para a existência da derivada complexa nesse ponto (desde que as derivadas parciais existam).
Porém não são suficientes: uma condição padrão suficiente é que as derivadas parciais existam numa vizinhança do ponto e sejam contínuas nessa vizinhança e satisfaçam CR — aí a função é diferenciável. Se as parciais não forem contínuas na vizinhança, pode ocorrer que CR se cumpram só no ponto, mas a derivada complexa não exista. É exatamente o que vamos demonstrar para esta função: as parciais em 0 são 0 e satisfazem CR, mas a derivada complexa não existe porque o limite definidor f'(0)=\lim_{z\to0}\frac{f(z)-f(0)}{z} falha.
Passo 5
Vamos verificar a existência de f'(0) pela definição:
Examinamos esse limite por caminhos diferentes (estratégia clássica: se o limite dependes do caminho então não existe).
Aproximação pelo eixo real: tome z=x real com x\to 0. Nesse caso y=0 e, por definição, f(x)=0. Então para x\neq 0
\frac{f(x)}{x}=\frac{0}{x}=0,
logo ao aproximar por valores reais o quociente tende a 0.
Aproximação pela reta y=x (diagonal): escreva z=x+ix=x(1+i) com x\to 0. Para x\neq 0 temos x y = x\cdot x = x^2 \neq 0, então f(z)=1. Assim, para x\neq 0
\frac{f(z)}{z}=\frac{1}{x(1+i)}.
O módulo desse quociente é \displaystyle \frac{1}{|x|\,|1+i|}=\frac{1}{|x|\sqrt{2}}, que tende a +\infty quando x\to 0. Portanto, ao aproximar por essa reta o quociente não tende a um número finito (é divergente).
Como ao aproximar por um caminho o quociente tende a 0 e por outro caminho o quociente é não limitado (diverge), o limite \displaystyle \lim_{z\to 0}\frac{f(z)}{z} não existe. Logo f'(0) não existe.
Comentário final e incentivo: portanto a função é um ótimo exemplo didático — as equações de Cauchy–Riemann podem ser válidas num ponto (as derivadas parciais existem e satisfazem as igualdades), mas a derivada complexa pode falhar justamente porque o comportamento da função ao aproximar-se por diferentes direções é incompatível. Isso mostra por que nas provas é importante checar a definição do limite da derivada, não só as CR pontuais. Você está indo bem — é exatamente esse tipo de exemplo que te ajuda a entender a sutileza.
Resposta
As equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em z_0=0 (todas as derivadas parciais em 0 valem 0), mas f'(0) não existe.