Mostre que
satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann em
, mas
não existe em cada caso:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas em
:
- mostrar que
satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em ; - mostrar que
(derivada complexa em ) não existe.
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
- Se escrever
com e , então a função pode ser escrita em coordenadas reais. - Em coordenadas reais vamos separar
em partes real e imaginária: . Precisamos identificar e e trabalhar com derivadas parciais em .
Passo 2
Escrever a função em termos de
e
. Pondo
temos
Isso é um número real e não negativo, logo a parte real e imaginária são
Observe também que
.
Passo 3
Relembrando a condição que devemos verificar: em um ponto
as equações de Cauchy–Riemann são
onde
são derivadas parciais avaliadas em
. Como
em toda parte, temos imediatamente
Portanto, para satisfazer as equações de Cauchy–Riemann em
basta mostrar que
Passo 4
Calcular
pela definição de derivada parcial:
Para
temos
e
. Assim o quociente é
para todo
. Portanto
Isso vale tanto para
quanto para
, então a derivada parcial existe e é
.
Passo 5
Calcular
pela definição de derivada parcial:
Para
temos
. Logo o quociente é
para todo
. Assim
Portanto
.
Passo 6
Concluir sobre as equações de Cauchy–Riemann: já que
,
e
, as igualdades
são satisfeitas (todas iguais a
). Assim,
satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em
.
Passo 7
Agora mostrar que
não existe. Pela definição de derivada complexa em
precisamos analisar o limite
já que
. Se esse limite existir e for independente da direção de aproximação então
existe; se obtivermos limites diferentes ao aproximar por caminhos distintos, a derivada não existe.
Passo 8
Aproximação pelo eixo real: considere
com
. Então
, logo
Portanto a aproximação por pontos reais (direção horizontal) dá limite
.
Passo 9
Aproximação pela reta
no primeiro quadrante: considere
com
e
. Então
e
, e
O quociente é
Esse valor é independente de
(para
) e em particular o limite quando
é
Passo 10
Como a aproximação pelo eixo real dá limite
e a aproximação pela reta
(pela direita) dá limite
, os limites são diferentes. Logo
não existe, e portanto
não existe.
Resposta
As equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em
.