Mostre que f(z) satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann em z_{0}=0, mas f^{\prime}(0) não existe em cada caso:
f(z)=\sqrt{|\operatorname{Re}(z)||\operatorname{Im}(z)|}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=\sqrt{|\operatorname{Re}(z)|\,|\operatorname{Im}(z)|}
e pede duas coisas em z_0=0:
  • mostrar que f satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em z_0=0;
  • mostrar que f'(0) (derivada complexa em 0) não existe.
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
  • Se escrever z=x+iy com x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z), então a função pode ser escrita em coordenadas reais.
  • Em coordenadas reais vamos separar f em partes real e imaginária: f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y). Precisamos identificar u e v e trabalhar com derivadas parciais em (0,0).

Passo 2

Escrever a função em termos de x e y. Pondo z=x+iy temos
f(z)=\sqrt{|x|\,|y|}.
Isso é um número real e não negativo, logo a parte real e imaginária são
u(x,y)=\sqrt{|x|\,|y|},\qquad v(x,y)=0.
Observe também que f(0)=\sqrt{|0|\,|0|}=0.

Passo 3

Relembrando a condição que devemos verificar: em um ponto (0,0) as equações de Cauchy–Riemann são
u_x(0,0)=v_y(0,0),\qquad u_y(0,0)=-v_x(0,0),
onde u_x,u_y,v_x,v_y são derivadas parciais avaliadas em (0,0). Como v\equiv0 em toda parte, temos imediatamente
v_x(0,0)=0,\qquad v_y(0,0)=0.
Portanto, para satisfazer as equações de Cauchy–Riemann em (0,0) basta mostrar que
u_x(0,0)=0\quad\text{e}\quad u_y(0,0)=0.

Passo 4

Calcular u_x(0,0) pela definição de derivada parcial:
u_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{u(h,0)-u(0,0)}{h}.
Para h\neq0 temos u(h,0)=\sqrt{|h|\,|0|}=0 e u(0,0)=0. Assim o quociente é \dfrac{0-0}{h}=0 para todo h\neq0. Portanto
u_x(0,0)=\lim_{h\to0}0=0.
Isso vale tanto para h\to0^+ quanto para h\to0^-, então a derivada parcial existe e é 0.

Passo 5

Calcular u_y(0,0) pela definição de derivada parcial:
u_y(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{u(0,k)-u(0,0)}{k}.
Para k\neq0 temos u(0,k)=\sqrt{|0|\,|k|}=0. Logo o quociente é \dfrac{0-0}{k}=0 para todo k\neq0. Assim
u_y(0,0)=\lim_{k\to0}0=0.
Portanto u_y(0,0)=0.

Passo 6

Concluir sobre as equações de Cauchy–Riemann: já que u_x(0,0)=0, u_y(0,0)=0 e v_x(0,0)=v_y(0,0)=0, as igualdades
u_x(0,0)=v_y(0,0),\qquad u_y(0,0)=-v_x(0,0)
são satisfeitas (todas iguais a 0). Assim, f satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em z_0=0.

Passo 7

Agora mostrar que f'(0) não existe. Pela definição de derivada complexa em 0 precisamos analisar o limite
\lim_{z\to0}\frac{f(z)-f(0)}{z}=\lim_{z\to0}\frac{f(z)}{z},
já que f(0)=0. Se esse limite existir e for independente da direção de aproximação então f'(0) existe; se obtivermos limites diferentes ao aproximar por caminhos distintos, a derivada não existe.

Passo 8

Aproximação pelo eixo real: considere z=x+ i0 com x\to0. Então f(z)=\sqrt{|x|\,|0|}=0, logo
\frac{f(z)}{z}=\frac{0}{x}=0.
Portanto a aproximação por pontos reais (direção horizontal) dá limite 0.

Passo 9

Aproximação pela reta y=x no primeiro quadrante: considere z=x+ix com x>0 e x\to0^+. Então |x|=x e |y|=x, e
f(z)=\sqrt{|x|\,|y|}=\sqrt{x\cdot x}=x.
O quociente é
\frac{f(z)}{z}=\frac{x}{x+ix}=\frac{x}{x(1+i)}=\frac{1}{1+i}.
Esse valor é independente de x (para x>0) e em particular o limite quando x\to0^+ é
\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{2}\neq 0.

Passo 10

Como a aproximação pelo eixo real dá limite 0 e a aproximação pela reta y=x (pela direita) dá limite \dfrac{1-i}{2}, os limites são diferentes. Logo
\lim_{z\to0}\frac{f(z)}{z}
não existe, e portanto f'(0) não existe.

Resposta

As equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em z_0=0.
f'(0) não existe.

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