Determine os pontos em que as funções
e
ix são diferenciáveis.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os pontos do plano complexo onde cada uma das duas aplicações abaixo é diferenciável como função de
:
-
. -
.
Informações dadas (explicitadas a partir do enunciado):
- A variável complexa vale
com . - Para cada função vamos escrever
e analisar a diferenciabilidade ponto a ponto.
Passo 2
O critério que vamos usar (explicado passo a passo):
- Se
tem derivadas parciais contínuas num ponto, então é complexamente diferenciável nesse ponto se e só se as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas ali:
- Intuição curta: as equações de Cauchy–Riemann garantem que a variação de
quando nos movemos em qualquer direção no plano complexo seja compatível com multiplicação por um número complexo (ou seja, existe um único derivado complexo). - Quando as derivadas parciais são contínuas em torno do ponto, checar as equações de Cauchy–Riemann é suficiente. Além disso, se as CR valem, a derivada complexa pode ser calculada por
avaliado no ponto (é outra forma equivalente de escrever a derivada).
Passo 3
Agora aplicamos ao primeiro caso:
.
- Identificação das partes real e imaginária:
- Calcular as derivadas parciais (estas são polinomiais, logo contínuas em todo lugar):
Passo 4
Aplicar as equações de Cauchy–Riemann para
:
- Primeira equação:
- Segunda equação:
- Conclusão parcial: as CR são satisfeitas exatamente nos pontos em que
(a reta com equação ). Como as derivadas parciais são contínuas, isso garante que é complexamente diferenciável em todos os pontos com e somente nesses pontos.
Passo 5
Calcular a derivada complexa nos pontos onde
(opcional, mas útil para verificar e aprender a usar a fórmula):
- Quando as CR valem, use
- Para esta função temos
e , logo
- Em termos de
ao longo da reta (para a intuição): se então . Isso coincide com tratar restrita àquela reta como função real de e também com reescrever em função de e ver que a derivada bate — não é necessário para a prova, só para entender.
Passo 6
Agora o segundo caso:
.
- Identificação das partes real e imaginária:
- Calcular derivadas parciais:
Passo 7
Verificar as equações de Cauchy–Riemann para
:
- Primeira equação:
- Segunda equação:
- As derivadas parciais são constantes (portanto contínuas) em todo
. Assim as CR são satisfeitas em todo o plano, logo é diferenciável em todo .
Passo 8
Derivada para o segundo caso (curiosidade e confirmação):
- Usando
obtemos
constante para todo
. Observação prática:
é exatamente a multiplicação por
de
, pois
logo faz sentido ser diferenciável em todo lugar com derivada
.
Resposta
A função
é diferenciável exatamente nos pontos
.
A função
é diferenciável em todo o plano
(para todo
).