Determine os pontos em que as funções f(z)=x^{2}+i y^{2} e f(z)=y- ix são diferenciáveis.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos do plano complexo onde cada uma das duas aplicações abaixo é diferenciável como função de z=x+iy:
  • f(z)=x^{2}+i y^{2}.
  • f(z)=y-ix.
Informações dadas (explicitadas a partir do enunciado):
  • A variável complexa vale \;z=x+iy\; com x,y\in\mathbb{R}.
  • Para cada função vamos escrever f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) e analisar a diferenciabilidade ponto a ponto.

Passo 2

O critério que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Se f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) tem derivadas parciais u_x,u_y,v_x,v_y contínuas num ponto, então f é complexamente diferenciável nesse ponto se e só se as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas ali:
u_x(x,y)=v_y(x,y) \qquad\text{e}\qquad u_y(x,y)=-v_x(x,y).
  • Intuição curta: as equações de Cauchy–Riemann garantem que a variação de f quando nos movemos em qualquer direção no plano complexo seja compatível com multiplicação por um número complexo (ou seja, existe um único derivado complexo).
  • Quando as derivadas parciais são contínuas em torno do ponto, checar as equações de Cauchy–Riemann é suficiente. Além disso, se as CR valem, a derivada complexa pode ser calculada por
f'(z)=u_x(x,y)+i\,v_x(x,y),
avaliado no ponto (é outra forma equivalente de escrever a derivada).

Passo 3

Agora aplicamos ao primeiro caso: f(z)=x^{2}+i y^{2}.
  • Identificação das partes real e imaginária:
u(x,y)=x^{2},\qquad v(x,y)=y^{2}.
  • Calcular as derivadas parciais (estas são polinomiais, logo contínuas em todo lugar):
u_x(x,y)=2x,\quad u_y(x,y)=0,
v_x(x,y)=0,\quad v_y(x,y)=2y.

Passo 4

Aplicar as equações de Cauchy–Riemann para f(z)=x^{2}+i y^{2}:
  • Primeira equação:
u_x=v_y \quad\Longrightarrow\quad 2x=2y \quad\Longrightarrow\quad x=y.
  • Segunda equação:
u_y=-v_x \quad\Longrightarrow\quad 0=-0 \quad\text{(sempre verdadeira).}
  • Conclusão parcial: as CR são satisfeitas exatamente nos pontos em que \;x=y\; (a reta com equação \operatorname{Re}(z)=\operatorname{Im}(z)). Como as derivadas parciais são contínuas, isso garante que f é complexamente diferenciável em todos os pontos com x=y e somente nesses pontos.

Passo 5

Calcular a derivada complexa nos pontos onde x=y (opcional, mas útil para verificar e aprender a usar a fórmula):
  • Quando as CR valem, use
f'(z)=u_x+i\,v_x.
  • Para esta função temos u_x=2x e v_x=0, logo
f'(z)=2x+i\cdot 0=2x.
  • Em termos de z ao longo da reta x=y (para a intuição): se z=x+ix=x(1+i) então f'(z)=2x. Isso coincide com tratar f restrita àquela reta como função real de x e também com reescrever f em função de z e ver que a derivada bate — não é necessário para a prova, só para entender.

Passo 6

Agora o segundo caso: f(z)=y-ix.
  • Identificação das partes real e imaginária:
u(x,y)=y,\qquad v(x,y)=-x.
  • Calcular derivadas parciais:
u_x(x,y)=0,\quad u_y(x,y)=1,
v_x(x,y)=-1,\quad v_y(x,y)=0.

Passo 7

Verificar as equações de Cauchy–Riemann para f(z)=y-ix:
  • Primeira equação:
u_x=v_y \quad\Longrightarrow\quad 0=0 \quad\text{(sempre verdadeira).}
  • Segunda equação:
u_y=-v_x \quad\Longrightarrow\quad 1=-(-1)\quad\Longrightarrow\quad 1=1 \quad\text{(sempre verdadeira).}
  • As derivadas parciais são constantes (portanto contínuas) em todo \mathbb{R}^2. Assim as CR são satisfeitas em todo o plano, logo f é diferenciável em todo \mathbb{C}.

Passo 8

Derivada para o segundo caso (curiosidade e confirmação):
  • Usando f'(z)=u_x+i\,v_x obtemos
f'(z)=0+i(-1)=-i,
constante para todo z. Observação prática: f(z)=y-ix é exatamente a multiplicação por -i de z, pois
-i z=-i(x+iy)= -ix + y = y-ix,
logo faz sentido ser diferenciável em todo lugar com derivada -i.

Resposta

A função f(z)=x^{2}+i y^{2} é diferenciável exatamente nos pontos \{z\in\mathbb{C}:\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Im}(z)\}.
A função f(z)=y-ix é diferenciável em todo o plano \mathbb{C} (para todo z\in\mathbb{C}).

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