(b) Considere
e
como funções de
e
e use derivação implícita para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para ver as funções de transformação entre coordenadas cartesianas \(x,y) e polares \(r,\theta) e usar derivação implícita para encontrar as derivadas parciais \(\nabla_y r = \partial r / \partial y) e \(\nabla_y \theta = \partial \theta / \partial y). O conteúdo é transformação de coordenadas e derivadas parciais por diferenciação implícita.
Passo 2
Em coordenadas polares temos as relações abaixo:
[ x = r\cos\theta ]
[ y = r\sin\theta ]
Vamos derivar implicitamente cada uma em relação a \()y), tratando \(x) como constante (ou seja, \(\partial x/\partial y = 0)).
[ x = r\cos\theta ]
[ y = r\sin\theta ]
Vamos derivar implicitamente cada uma em relação a \()y), tratando \(x) como constante (ou seja, \(\partial x/\partial y = 0)).
Passo 3
Derivando \(x = r\cos\theta) em relação a \(y) temos:
[ 0 = \frac{\partial r}{\partial y}\cos\theta - r\sin\theta,\frac{\partial\theta}{\partial y} ]
[ 0 = \frac{\partial r}{\partial y}\cos\theta - r\sin\theta,\frac{\partial\theta}{\partial y} ]
Passo 4
Derivando \(y = r\sin\theta) em relação a \(y) temos:
[ 1 = \frac{\partial r}{\partial y}\sin\theta + r\cos\theta,\frac{\partial\theta}{\partial y} ]
[ 1 = \frac{\partial r}{\partial y}\sin\theta + r\cos\theta,\frac{\partial\theta}{\partial y} ]
Passo 5
Agora resolvemos o sistema linear:
[ \begin{cases} \cos\theta,\frac{\partial r}{\partial y} - r\sin\theta,\frac{\partial\theta}{\partial y} = 0 \\ \sin\theta,\frac{\partial r}{\partial y} + r\cos\theta,\frac{\partial\theta}{\partial y} = 1 \end{cases} ]
Multiplicando a primeira por \(\sin\theta) e a segunda por \(\cos\theta) e subtraindo, obtemos rapidamente:
[ r(\cos^2\theta + \sin^2\theta),\frac{\partial\theta}{\partial y} = \cos\theta ]
Como \(\cos2\theta+\sin2\theta=1), segue
\[ \frac{\partial\theta}{\partial y} = \frac{\cos\theta}{r} ]
[ r(\cos^2\theta + \sin^2\theta),\frac{\partial\theta}{\partial y} = \cos\theta ]
Como \(\cos2\theta+\sin2\theta=1), segue
\[ \frac{\partial\theta}{\partial y} = \frac{\cos\theta}{r} ]
Passo 6
Finalmente, substituímos esse valor na segunda equação para achar \(\partial r/\partial y):
\[ \sin\theta,\frac{\partial r}{\partial y} + r\cos\theta,\frac{\cos\theta}{r} = 1 \\ \sin\theta,\frac{\partial r}{\partial y} + \cos^2\theta = 1 \\ \sin\theta,\frac{\partial r}{\partial y} = 1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta \\ \frac{\partial r}{\partial y} = \sin\theta ]
\[ \sin\theta,\frac{\partial r}{\partial y} + r\cos\theta,\frac{\cos\theta}{r} = 1 \\ \sin\theta,\frac{\partial r}{\partial y} + \cos^2\theta = 1 \\ \sin\theta,\frac{\partial r}{\partial y} = 1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta \\ \frac{\partial r}{\partial y} = \sin\theta ]
Resposta
\(\displaystyle \frac{\partial r}{\partial y} = \sin\theta\quade\quad\frac{\partial\theta}{\partial y} = \frac{\cos\theta}{r}.)