\mathbf{2}^{\mathbf{a}} Questão: Decidir se a série dada converge ou não. Em caso afirmativo, dizer se a convergência é absoluta ou condicional.
(1,0) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{n}{3 n-1}\right)^{2 n-1}

Passo 1

O enunciado apresenta a série alternada
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\Bigl(\frac{n}{3n-1}\Bigr)^{2n-1}
e pede para decidir sua convergência e verificar se esta é absoluta ou condicional. Vamos usar o teste da raiz para examinar a soma dos valores absolutos.

Passo 2

Analisamos a série dos valores absolutos, cujo termo geral é
\displaystyle|a_n|=\Bigl(\frac{n}{3n-1}\Bigr)^{2n-1}.
Aplicando o teste da raiz, calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \;=\;\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n}{3n-1}\Bigr)^{\frac{2n-1}{n}} \;=\;\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n}{3n-1}\Bigr)^{2-\frac1n}.
Como \lim_{n\to\infty}\frac{n}{3n-1}=\frac13, temos
L=\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{2}= \tfrac{1}{9}<1.
Pelo critério da raiz, \sum|a_n| converge.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos converge, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge e a convergência é absoluta.

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