Mostre as seguintes identidades termodinâmicas entre,
a compressibilidade isotérmica, a compressibilidade adiabática e a razão
entre os calores específicos
a compressibilidade isotérmica, a compressibilidade adiabática e a razão
Passo 1
Vamos provar que a compressibilidade isotérmica
e a compressibilidade adiabática
satisfazem a relação
onde
. Para isso precisaremos das definições de
e
, da relação termodinâmica entre
,
e dos coeficientes de expansão.
Passo 2
Definimos as compressibilidades por
Também introduzimos o coeficiente de expansão isotérmica
Passo 3
Para ligar derivadas à entropia, usamos a diferencial exata da entropia em variáveis
e
:
Em processo adiabático (
) isolamos
Passo 4
Agora escrevemos
em termos de derivadas em
e
:
Substituindo
do passo anterior e
dá
Passo 5
Passando para compressibilidades, multiplicamos por
:
Passo 6
Utilizamos a identidade termodinâmica
que reescreve
. Substituindo em
do passo anterior: