Mostre as seguintes identidades termodinâmicas entre,
a compressibilidade isotérmica, a compressibilidade adiabática e a razão Upsilon entre os calores específicos
KT=gamma KS

Passo 1

Vamos provar que a compressibilidade isotérmica KT e a compressibilidade adiabática KS satisfazem a relação
KT = gamma,KS,
onde gamma = cp/cv. Para isso precisaremos das definições de KT e KS, da relação termodinâmica entre cp, cv e dos coeficientes de expansão.

Passo 2

Definimos as compressibilidades por
KT = -1Vl(partial Vpartial pr)T, KS = -1Vl(partial Vpartial pr)S
Também introduzimos o coeficiente de expansão isotérmica
alpha = 1Vl(partial Vpartial Tr)p

Passo 3

Para ligar derivadas à entropia, usamos a diferencial exata da entropia em variáveis T e p:
dS = cpT,dT ;-;l(partial Vpartial Tr)p,dp
Em processo adiabático ( dS=0) isolamos
0 = cpT,dT - Valpha,dp Longrightarrow l(dTdpr)S = T,V,alphacp

Passo 4

Agora escrevemos l(partial V/partial pr)S em termos de derivadas em T e p:
l(partial Vpartial pr)S = l(partial Vpartial pr)T + l(partial Vpartial Tr)p l(partial Tpartial pr)S
Substituindo l(partial T/partial pr)S do passo anterior e l(partial V/partial Tr)p=Valpha
l(partial Vpartial pr)S = l(partial Vpartial pr)T + Valpha;T,V,alphacp = l(partial Vpartial pr)T + T,V^2,alpha^2cp

Passo 5

Passando para compressibilidades, multiplicamos por -1/V:
KS = -1Vl(partial Vpartial pr)S = -1Vl(partial Vpartial pr)T ;-;T,V,alpha^2cp = KT ;-;T,V,alpha^2cp

Passo 6

Utilizamos a identidade termodinâmica
cp - cv = T,V,alpha^2KT,
que reescreve T,V,alpha^2= (cp-cv),KT. Substituindo em KS do passo anterior:
KS = KT - (cp-cv),KTcp = KTl(1 - cp-cvcpr) = KT,cvcp = KTgamma

Resposta

KT = gamma,KS

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