Seja a função
dada por:
Determine
, fora da origem e por definição na origem.
Passo 1
O exercício nos dá a função f: ℝ²→ℝ definida por
E pede as derivadas parciais ∂f/∂x e ∂f/∂y em dois casos: fora da origem e na origem (usando a definição via limite). Vamos usar derivada parcial e a regra da cadeia fora da origem e o limite da definição na origem.
Passo 2
Para (x,y)≠(0,0), aplicamos a regra da cadeia. Escrevendo em bloco:
Temos
Analogamente,
Passo 3
Na origem, usamos a definição:
De modo análogo para y: ∂f/∂y(0,0)=0.
Passo 4
Concluímos que fora da origem as parciais são dadas por
e
, e ambas valem 0 na origem.
Resposta
Fora de (0,0):
Na origem: