Seja a função f: R^2 longrightarrow R dada por:
f(x, y)=raizx^4+y^4
Determine partial fpartial x e partial fpartial y, fora da origem e por definição na origem.

Passo 1

O exercício nos dá a função f: ℝ²→ℝ definida por
f(x,y)=raizx^4+y^4
E pede as derivadas parciais ∂f/∂x e ∂f/∂y em dois casos: fora da origem e na origem (usando a definição via limite). Vamos usar derivada parcial e a regra da cadeia fora da origem e o limite da definição na origem.

Passo 2

Para (x,y)≠(0,0), aplicamos a regra da cadeia. Escrevendo em bloco:
f(x,y)=(x^4+y^4)^1/2
Temos
partial fpartial x=12(x^4+y^4)^-1/2cdot4x^3=2x^3raizx^4+y^4
Analogamente,
partial fpartial y=2y^3raizx^4+y^4

Passo 3

Na origem, usamos a definição:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h= limhto0raizh^4-0h=limhto0|h^2|h=limhto0h=0
De modo análogo para y: ∂f/∂y(0,0)=0.

Passo 4

Concluímos que fora da origem as parciais são dadas por 2x^3/raizx^4+y^4 e 2y^3/raizx^4+y^4, e ambas valem 0 na origem.

Resposta

Fora de (0,0):
partial fpartial x(x,y)=2x^3raizx^4+y^4, partial fpartial y(x,y)=2y^3raizx^4+y^4
Na origem:
partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0

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