Mostre quais dos seguinte limite existem ou prove que não existem. Justifique sua resposta.
lim (x, y) (0,0) x y^2-y x^2x^2+y^2

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Vamos analisar o seguinte limite:
lim (x, y) (0,0) x y^2-y x^2x^2+y^2
Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, um tópico da Análise Matemática Multivariada. Para resolver esse tipo de limite, precisamos verificar se o limite existe quando (x, y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos possíveis, então o limite existe e é igual a esse valor.

Passo 2

Entendendo o Conceito de Limite em Duas Variáveis
Em funções de duas variáveis, o limite lim (x, y) (a,b) f(x, y) existe se, ao aproximarmos (x, y) de (a,b) por qualquer caminho, o valor de f(x, y) tende para o mesmo número. Para verificar isso, podemos testar diferentes caminhos (como linhas, parábolas, etc.) e ver se o limite é consistente.

Passo 3

Escolhendo o Primeiro Caminho: y = 0
Vamos primeiro aproximar (x, y) de (0,0) ao longo do caminho onde y = 0.
Substituindo y = 0 na função:
f(x, 0) = x (0)^2 - 0 cdot x^2x^2 + 0^2 = 0 - 0x^2 = 0
Portanto,
lim x 0 f(x, 0) = 0

Passo 4

Escolhendo o Segundo Caminho: x = 0
Agora, vamos aproximar (x, y) de (0,0) ao longo do caminho onde x = 0.
Substituindo x = 0 na função:
f(0, y) = 0 cdot y^2 - y cdot 0^20^2 + y^2 = 0 - 0y^2 = 0
Portanto,
lim y 0 f(0, y) = 0

Passo 5

Escolhendo um Caminho Geral: y = kx onde k é uma Constante
Para ser mais geral, vamos considerar caminhos onde y = kx, onde k é uma constante real.
Substituindo y = kx na função:
f(x, kx) = x (k x)^2 - kx cdot x^2x^2 + (k x)^2 = x cdot k^2 x^2 - kx cdot x^2x^2 + k^2 x^2 = k^2 x^3 - k x^3x^2(1 + k^2)
Simplificando:
f(x, kx) = x^3(k^2 - k)x^2(1 + k^2) = x (k^2 - k)1 + k^2
Agora, ao tomarmos o limite quando x 0:
limx 0 x (k^2 - k)1 + k^2 = 0
Independentemente do valor de k, o limite é zero.

Passo 6

Usando Coordenadas Polares para uma Abordagem Geral
Outra forma de verificar o limite é usar coordenadas polares, onde x = r costheta e y = r sintheta. Isso nos ajuda a analisar o comportamento da função à medida que r 0 independentemente de theta.
Substituindo na função:
f(r costheta, r sintheta) = (r costheta)(r sintheta)^2 - (r sintheta)(r costheta)^2(r costheta)^2 + (r sintheta)^2
Simplificando o numerador:
r costheta cdot r^2 sin^2theta - r sintheta cdot r^2 cos^2theta = r^3 costheta sin^2theta - r^3 sintheta cos^2theta = r^3 sintheta costheta (sintheta - costheta)
E o denominador:
r^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta = r^2 (cos^2theta + sin^2theta) = r^2
Portanto, a função em coordenadas polares fica:
f(r costheta, r sintheta) = r^3 sintheta costheta (sintheta - costheta)r^2 = r sintheta costheta (sintheta - costheta)
Agora, ao tomarmos o limite quando r 0:
limr 0 r sintheta costheta (sintheta - costheta) = 0
Porque r está multiplicando todos os termos, e conforme r se aproxima de zero, todo o produto tende a zero, independentemente do valor de theta.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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