Mostre quais dos seguinte limite existem ou prove que não existem. Justifique sua resposta.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Vamos analisar o seguinte limite:
Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, um tópico da Análise Matemática Multivariada. Para resolver esse tipo de limite, precisamos verificar se o limite existe quando
se aproxima de
por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos possíveis, então o limite existe e é igual a esse valor.
Passo 2
Entendendo o Conceito de Limite em Duas Variáveis
Em funções de duas variáveis, o limite
existe se, ao aproximarmos
de
por qualquer caminho, o valor de
tende para o mesmo número. Para verificar isso, podemos testar diferentes caminhos (como linhas, parábolas, etc.) e ver se o limite é consistente.
Passo 3
Escolhendo o Primeiro Caminho:
Vamos primeiro aproximar
de
ao longo do caminho onde
.
Substituindo
na função:
Portanto,
Passo 4
Escolhendo o Segundo Caminho:
Agora, vamos aproximar
de
ao longo do caminho onde
.
Substituindo
na função:
Portanto,
Passo 5
Escolhendo um Caminho Geral:
onde
é uma Constante
Para ser mais geral, vamos considerar caminhos onde
, onde
é uma constante real.
Substituindo
na função:
Simplificando:
Agora, ao tomarmos o limite quando
:
Independentemente do valor de
, o limite é zero.
Passo 6
Usando Coordenadas Polares para uma Abordagem Geral
Outra forma de verificar o limite é usar coordenadas polares, onde
e
. Isso nos ajuda a analisar o comportamento da função à medida que
independentemente de
.
Substituindo na função:
Simplificando o numerador:
E o denominador:
Portanto, a função em coordenadas polares fica:
Agora, ao tomarmos o limite quando
:
Porque
está multiplicando todos os termos, e conforme
se aproxima de zero, todo o produto tende a zero, independentemente do valor de
.
Resposta
O limite existe e é igual a
.