Mostre que o seguinte limite não existe:
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse limite juntos! A questão pede para mostrar que o limite da função
quando
se aproxima de
não existe. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites de funções de duas variáveis e verificar se o resultado depende do caminho que escolhemos para chegar ao ponto
. Se obtivermos valores diferentes ao aproximar por caminhos distintos, então o limite não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um caminho simples para nos aproximarmos de
. Vamos fixar
e deixar
se aproximar de 0. Nesse caso, substituímos
na função:
Então, ao nos aproximarmos pelo caminho
, o limite da função é 0.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho para nos aproximarmos de
. Desta vez, vamos deixar
, onde
é uma constante. Isso significa que
depende de
e nos aproximamos de
ao fazer
.
Substituindo
na função:
Perceba que o resultado
depende do valor de
. Isso significa que, dependendo de como escolhemos a relação entre
e
, obtém-se diferentes valores para o limite.
Passo 4
No primeiro caminho, quando fixamos
, o limite foi 0. No segundo caminho, onde
, o limite é
, que varia conforme o valor de
.
Como conseguimos dois valores diferentes para o limite dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de
, isso indica que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.
Resposta
Portanto, o limite
não existe porque depende do caminho escolhido para a aproximação.