Mostre que o seguinte limite não existe:
lim substackx -1 y y (x+1) y(x+1)^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse limite juntos! A questão pede para mostrar que o limite da função
(x+1)y(x+1)^2+y^2
quando (x, y) se aproxima de (-1, 0) não existe. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites de funções de duas variáveis e verificar se o resultado depende do caminho que escolhemos para chegar ao ponto (-1, 0). Se obtivermos valores diferentes ao aproximar por caminhos distintos, então o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples para nos aproximarmos de (-1, 0). Vamos fixar x = -1 e deixar y se aproximar de 0. Nesse caso, substituímos x = -1 na função:
( -1 + 1 ) y( -1 + 1 )^2 + y^2 = 0 cdot y0^2 + y^2 = 0y^2 = 0
Então, ao nos aproximarmos pelo caminho x = -1, o limite da função é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho para nos aproximarmos de (-1, 0). Desta vez, vamos deixar y = k(x + 1), onde k é uma constante. Isso significa que y depende de x e nos aproximamos de (-1, 0) ao fazer x -1.
Substituindo y = k(x + 1) na função:
(x + 1) cdot k(x + 1)(x + 1)^2 + [k(x + 1)]^2 = k(x + 1)^2(x + 1)^2 (1 + k^2) = k1 + k^2
Perceba que o resultado k1 + k^2 depende do valor de k. Isso significa que, dependendo de como escolhemos a relação entre y e x, obtém-se diferentes valores para o limite.

Passo 4

No primeiro caminho, quando fixamos x = -1, o limite foi 0. No segundo caminho, onde y = k(x + 1), o limite é k1 + k^2, que varia conforme o valor de k.
Como conseguimos dois valores diferentes para o limite dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de (-1, 0), isso indica que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Resposta

Portanto, o limite
lim (x, y) (-1, 0) (x+1) y(x+1)^2+y^2
não existe porque depende do caminho escolhido para a aproximação.

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