Mostre que os seguinte vetores u=3 i-2 j+k ; v=i-3 j+5 k e w=2 i+j-4 k formam um triângulo.

Passo 1

O enunciado dá três vetores posição
u=3i-2j+k,
v=i-3j+5k e
w=2i+j-4k,
que correspondem aos pontos A, B e C no espaço. Para que esses três pontos formem um triângulo, eles não podem ser colineares.
Vamos verificar isso calculando os vetores AB e AC e mostrando que eles não são paralelos, ou seja, seu produto vetorial é diferente de zero.

Passo 2

Calculemos o vetor
AB=v-u e o vetor
AC=w-u.
Em componentes:
AB =l(1-3,,-3-(-2),,5-1r) =(-2,,-1,,4),
AC =l(2-3,,1-(-2),,-4-1r) =(-1,,3,,-5)

Passo 3

Do ponto de vista geométrico, AB e AC são paralelos (caso A,B,C sejam colineares) exatamente quando seu produto vetorial for o vetor nulo. Vamos calcular
ABtimesAC = i & j & k -2 & -1 & 4 -1 & 3 & -5
Expandindo pelo método de Sarrus ou pela definição:
ABtimesAC =il((-1)(-5)-4cdot3r) -jl((-2)(-5)-4cdot(-1)r) +kl((-2)cdot3-(-1)cdot(-1)r)
Isso dá
ABtimesAC =i(5-12)-j(10+4)+k(-6-1) =-7i-14j-7k,
que é diferente do vetor nulo.

Passo 4

Como
ABtimesACneq0,
os vetores AB e AC não são paralelos, o que significa que os pontos A, B e C não são colineares. Logo, eles formam um triângulo.

Resposta

Os vetores u, v e w correspondem a três pontos não colineares, portanto formam um triângulo.

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