1 (2 pts.) Determine a equação cartesiana dos seguintes planos:
que contém os pontos A=(1,0,2), B=(0,3,-1) e C=(-1,-1,1);

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa por A=(1,0,2), B=(0,3,-1) e C=(-1,-1,1). Isso faz parte de geometria analítica no espaço: para encontrar a equação cartesiana de um plano em R^3 precisamos de um vetor normal vec n ao plano e de um ponto. Vamos obter vec n calculando o produto vetorial de dois vetores que estejam no plano (por exemplo AB e AC) e usar a forma
vec ncdotl((x,y,z)-Ar)=0

Passo 2

Calcular os vetores diretores AB e AC:
AB = B - A = (0-1,;3-0,;-1-2) = (-1,;3,;-3),
AC = C - A = (-1-1,;-1-0,;1-2) = (-2,;-1,;-1)

Passo 3

Obter o vetor normal via produto vetorial:
vec n = ABtimes AC = i & j & k -1 & 3 & -3 -2 & -1 & -1 = (-6,;5,;7)

Passo 4

Usar a forma ponto-normal com o ponto A(1,0,2):
-6(x-1) + 5(y-0) + 7(z-2) = 0
-6x + 6 + 5y + 7z - 14 = 0
Multiplicando por -1 para simplificar, fica
6x - 5y - 7z + 8 = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano é
6x - 5y - 7z + 8 = 0

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