1 (2 pts.) Determine a equação cartesiana dos seguintes planos:
que contem o ponto P=(1,2,3) e é paralelo aos vetores v1=i+j-k e v2=-i-2 j+k ;

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano que contém o ponto P=(1,2,3) e é paralelo aos vetores v1=(1,1,-1) e v2=(-1,-2,1). Para resolver, vamos usar a ideia de que, se dois vetores estão no plano, seu produto vetorial dá um vetor normal ao plano, e então usamos a forma ncdot(r-r0)=0.

Passo 2

Calculemos a normal n = v1 times v2 via determinante:
n = i & j & k 1 & 1 & -1 -1 & -2 & 1 = i(1cdot1 - (-1)cdot(-2)) - j(1cdot1 - (-1)cdot(-1)) + k(1cdot(-2) - 1cdot(-1))
Isso dá
n =i(1-2)-j(1-1)+k(-2+1) =(-1,,0,,-1)
Podemos simplificar mudando o sinal para obter
n=(1,,0,,1)

Passo 3

Agora escrevemos a equação do plano usando n=(1,0,1) e o ponto P=(1,2,3). Se (x,y,z) está no plano, vale
ncdotl((x,y,z)-(1,2,3)r)=0
ou seja
1cdot(x-1)+0cdot(y-2)+1cdot(z-3)=0
que simplifica para
x-1+z-3=0
ou ainda
x+z-4=0

Resposta

x+z-4=0

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