Mostre que as seguintes aplicações são isometrias e obtenha cada aplicação como composta de uma translação e uma transformação ortogonal. R(x, y, z)=(x, y, z)-\frac{2}{3}(x+y+z) \cdot(1,1,1).
Passo 1
O enunciado fornece a aplicação R:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
R(x,y,z)=(x,y,z)-\frac{2}{3}(x+y+z)\,(1,1,1).
O que se pede:
Mostrar que R é uma isometria (ou seja, que preserva distâncias).
Exibir R como composta de uma translação e uma transformação ortogonal.
Informações dadas que usarei explicitamente:
A expressão de R para um vetor arbitrário v=(x,y,z).
O vetor u=(1,1,1) aparece na fórmula (vou usá‑lo como referência).
Passo 2
Interpretação da fórmula e identificação da operação geométrica envolvida.
Defina o produto interno usual em \mathbb{R}^3 por \langle v,w\rangle e a norma por \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}. Para v=(x,y,z) e u=(1,1,1) vale
Agora observe que a fórmula de R pode ser escrita como
R(v)=v-\frac{2}{3}\langle v,u\rangle\,u = v - 2\,\mathrm{proj}_u(v).
Essa é precisamente a fórmula habitual da reflexão ortogonal do vetor v na direção normal u: refletir num plano ortogonal a u equivale a subtrair duas vezes a componente de v na direção de u.
Passo 3
Mostrando que R preserva normas (daí preserva distâncias).
Escreva v como soma de sua componente paralela a u e da componente ortogonal:
v = a + w,\qquad a=\mathrm{proj}_u(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{3}u,\qquad w=v-a.
Por construção temos \langle w,a\rangle=0 (componentes ortogonais). Então
Portanto \|R(v)\|=\|v\| para todo v\in\mathbb{R}^3. Para quaisquer pontos p,q\in\mathbb{R}^3 tem‑se
\|R(p)-R(q)\|=\|R(p-q)\|=\|p-q\|,
logo R preserva distâncias entre pontos: R é uma isometria.
(Dica prática para prova: provar preservação da norma de vetores é suficiente, porque distância entre pontos é norma da diferença.)
Passo 4
Mostrar que R é uma transformação ortogonal (ou seja, a parte linear da isometria é ortogonal) e identificar a decomposição pedido.
A transformação é linear e pode ser escrita em matriz em relação à base canônica. Se u é visto como coluna, então u u^T é a matriz com todas as entradas iguais a 1. Assim a matriz de R é
M = I - \frac{2}{3} u u^T = I - \frac{2}{3}\begin{pmatrix}1&1&1\\[2pt]1&1&1\\[2pt]1&1&1\end{pmatrix}.
Note que a projeção P=\dfrac{1}{3}u u^T satisfaz P^2=P e P^T=P. Então
M = I - 2P,
e
M^T M = (I-2P)^T(I-2P)=(I-2P)(I-2P)=I-4P+4P^2 = I-4P+4P = I,
pois P^2=P. Assim M^T M=I, isto é, M é ortogonal. Além disso M^2=(I-2P)^2=I, logo M^{-1}=M (reflexão).
Agora, pela classificação geral das isometrias eu sei que qualquer isometria F de \mathbb{R}^n pode ser escrita como composição de uma transformação ortogonal O e uma translação T_b (isto é, F=T_b\circ O ou F=O\circ T_b). No caso presente, R(0)=0, logo não há deslocamento: a translação necessária é a translação nula. Portanto R já é uma transformação ortogonal pura (a reflexão) — isto é, pode ser escrita como composição de uma translação por b=(0,0,0) e da transformação ortogonal O dada por O(v)=Rv.
Geométricamente: R é a reflexão no plano passando pela origem e ortogonal ao vetor u=(1,1,1).]
Passo 5
Resumo explícito e verificação final (fórmulas prontas para usar numa prova).
Fórmula da projeção usada (peguei \langle v,u\rangle = x+y+z da expressão do enunciado).
Verificações curtas: R é linear, R^T R=I (logo ortogonal), R^2=I (é reflexão), e \|R(v)\|=\|v\| (é isometria).
Decomposição pedida: R = T_{(0,0,0)}\circ O com O a transformação ortogonal dada acima (equivalente a dizer que R é a própria transformação ortogonal — reflexão — sem translação).
Resposta
R é uma isometria (preserva distâncias); geometricamente é a reflexão no plano ortogonal a u=(1,1,1). A transformação ortogonal que representa R tem matriz