Mostre que as seguintes aplicações são isometrias e obtenha cada aplicação como composta de uma translação e uma transformação ortogonal.
.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
, e pede duas coisas:
- Mostrar que
é uma isometria (ou seja, preserva distâncias entre quaisquer dois pontos). - Escrever
como composição de uma translação e de uma transformação ortogonal.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- Para um ponto
tem-se - Devemos usar propriedades básicas de norma, produto escalar, translações e transformações ortogonais.
Passo 2
Definição e estratégia para provar isometria. Vou recordar e usar coisas simples e úteis:
- Uma aplicação
é isometria se, para quaisquer ,
- A norma euclidiana em
é dada por , onde é o produto escalar.
Vou calculare mostrar que coincide com .
Passo 3
Cálculo direto da preservação de distância. Seja
e
. Então
Subtraindo,
Tomando norma (ou norma ao quadrado) obtemos
pois
para todo
. Logo
preserva distâncias e portanto é uma isometria.
Passo 4
Escrever
como composição de translação e transformação ortogonal. Primeiro reescrevo
de forma conveniente. Para
defino o vetor fixo
Então
Defino a transformação linear
por
. Também defino a translação
. Com essas definições, para todo
Passo 5
Verificar que
é ortogonal e comentar a geometria. Para qualquer
,
portanto
preserva o produto escalar, o que equivale a ser transformação ortogonal. Em termos de matriz,
é dado por
(matriz identidade multiplicada por
), e satisfaz
. A determinante de
é
, ou seja, é uma reflexão (uma ortogonal imprópria): geometricamente é a reflexão no ponto origem (ou rotação de 180° composta com reflexões — mas o mais simples é pensar em multiplicar por
) seguida de translação por
.
Como composição de uma transformação ortogonal e de uma translação,
é também uma isometria (isto também segue do passo anterior).
Passo 6
Observação adicional útil para prova/exame:
é involutiva, isto é,
. De fato, para todo
,
logo
. Isso pode ser usado às vezes para verificar propriedades inversas rapidamente.
Resposta
É isometria.
Decomposição: com
e
(onde
é ortogonal).
Decomposição: