Mostre que as seguintes aplicações são isometrias e obtenha cada aplicação como composta de uma translação e uma transformação ortogonal.
C(x, y, z)=(2-x, 4-y, 6-z).

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
\;C:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\;C(x,y,z)=(2-x,\,4-y,\,6-z), e pede duas coisas:
  • Mostrar que C é uma isometria (ou seja, preserva distâncias entre quaisquer dois pontos).
  • Escrever C como composição de uma translação e de uma transformação ortogonal.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Para um ponto \mathbf{p}=(x,y,z) tem-se \;C(\mathbf{p})=(2,4,6)-\mathbf{p}.
  • Devemos usar propriedades básicas de norma, produto escalar, translações e transformações ortogonais.

Passo 2

Definição e estratégia para provar isometria. Vou recordar e usar coisas simples e úteis:
  • Uma aplicação F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é isometria se, para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3,
\|\;F(\mathbf{u})-F(\mathbf{v})\;\|=\|\;\mathbf{u}-\mathbf{v}\;\|.
  • A norma euclidiana em \mathbb{R}^3 é dada por \|\mathbf{w}\|=\sqrt{\mathbf{w}\cdot\mathbf{w}}, onde \mathbf{w}\cdot\mathbf{z} é o produto escalar.
    Vou calcular \|C(\mathbf{u})-C(\mathbf{v})\| e mostrar que coincide com \|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|.

Passo 3

Cálculo direto da preservação de distância. Seja \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2). Então
C(\mathbf{u})=(2-x_1,\,4-y_1,\,6-z_1), \qquad C(\mathbf{v})=(2-x_2,\,4-y_2,\,6-z_2).
Subtraindo,
C(\mathbf{u})-C(\mathbf{v})=(x_2-x_1,\,y_2-y_1,\,z_2-z_1)=-(\mathbf{u}-\mathbf{v}).
Tomando norma (ou norma ao quadrado) obtemos
\|C(\mathbf{u})-C(\mathbf{v})\|=\|-(\mathbf{u}-\mathbf{v})\|=\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|,
pois \|-\mathbf{w}\|=\|\mathbf{w}\| para todo \mathbf{w}. Logo C preserva distâncias e portanto é uma isometria.

Passo 4

Escrever C como composição de translação e transformação ortogonal. Primeiro reescrevo C de forma conveniente. Para \mathbf{p}=(x,y,z) defino o vetor fixo
\mathbf{a}=(2,4,6).
Então
C(\mathbf{p})=\mathbf{a}-\mathbf{p}=\mathbf{a}+(-\mathbf{p}).
Defino a transformação linear Q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por Q(\mathbf{p})=-\mathbf{p}. Também defino a translação T_{\mathbf{a}}(\mathbf{w})=\mathbf{w}+\mathbf{a}. Com essas definições, para todo \mathbf{p}
C(\mathbf{p})=T_{\mathbf{a}}\bigl(Q(\mathbf{p})\bigr)=\bigl(T_{\mathbf{a}}\circ Q\bigr)(\mathbf{p}).

Passo 5

Verificar que Q é ortogonal e comentar a geometria. Para qualquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3,
Q(\mathbf{u})\cdot Q(\mathbf{v}) = (-\mathbf{u})\cdot(-\mathbf{v}) = \mathbf{u}\cdot\mathbf{v},
portanto Q preserva o produto escalar, o que equivale a ser transformação ortogonal. Em termos de matriz, Q é dado por -I (matriz identidade multiplicada por -1), e satisfaz Q^T Q = I. A determinante de Q é \det(Q)=-1, ou seja, é uma reflexão (uma ortogonal imprópria): geometricamente é a reflexão no ponto origem (ou rotação de 180° composta com reflexões — mas o mais simples é pensar em multiplicar por -1) seguida de translação por \mathbf{a}=(2,4,6).
Como composição de uma transformação ortogonal e de uma translação, C é também uma isometria (isto também segue do passo anterior).

Passo 6

Observação adicional útil para prova/exame: C é involutiva, isto é, C\circ C=\mathrm{Id}. De fato, para todo \mathbf{p},
C(C(\mathbf{p}))=C(\mathbf{a}-\mathbf{p})=\mathbf{a}-(\mathbf{a}-\mathbf{p})=\mathbf{p},
logo C^{-1}=C. Isso pode ser usado às vezes para verificar propriedades inversas rapidamente.

Resposta

É isometria.
Decomposição: C=T_{\mathbf{a}}\circ Q com \mathbf{a}=(2,4,6) e Q(\mathbf{p})=-\mathbf{p} (onde Q é ortogonal).

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