Prove:
Seja
uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco, com curvatura
para todo
. Mostre que, se existe um vetor unitário fixo
tal que o ângulo entre o vetor tangente
e
é constante para todo
, então a razão
é constante em
. Conclua que
é uma hélice generalizada.
Seja
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo pegado do enunciado):
-
é uma curva regular parametrizada por comprimento de arco . - O vetor tangente é
e a curvatura satisfaz para todo . - Existe um vetor fixo unitário
tal que o ângulo entre e é constante para todo . Isso equivale a dizer que o produto escalar é constante em .
O que o problema pede:
- Mostrar que a razão
é constante em , onde é a torsão de . - Concluir que
é uma hélice generalizada (ou seja: há uma direção fixa que faz ângulo constante com o tangente).
Passo 2
Relembrando as definições e as fórmulas de Frenet (tudo explicado passo a passo):
- Como
está parametrizada por comprimento de arco, é unitário: . - A curvatura
é definida por
Como
,
e podemos definir o vetor normal principal
que é unitário e ortogonal a
.
- O binormal é definido por
também unitário, e
forma a base de Frenet ortonormal ao longo da curva.
- As equações de Frenet-Serret (que descrevem as derivadas dessa base ao longo de
) são
onde
é a torsão. Estas fórmulas vêm de derivar os vetores unitários e usar ortogonalidade e normalização; aqui só usaremos explicitamente
e
.
Passo 3
Usar a hipótese de ângulo constante entre
e
.
- Se o ângulo entre
e é constante, existe um ângulo tal que, para todo ,
com
constante. (Aqui
é esse ângulo fixo; pode-se tomar
.)
- Derivando em
obtemos
pois o lado esquerdo é derivada da constante
.
- Usando
segue
Como
por hipótese, devemos ter
Portanto o vetor fixo
é ortogonal a
para todo
.
Passo 4
Expressar
na base de Frenet e determinar seus coeficientes.
- A base
é ortonormal. A condição diz que pertence ao plano gerado por e para cada . Como , escrevemos
para algum escalar
.
- Tomando norma em ambos os lados e lembrando
e e ortogonalidade dos vetores, obtemos
logo
Assim
. Como
é fixo (não depende de
), o sinal não pode oscilar ao longo de
continuamente sem causar descontinuidade; portanto existe um sinal fixo
com
(Nota didática: escolher
é escolher a orientação do componente na direção de
.)
Passo 5
Diferenciar a expressão que representa
e usar Frenet para relacionar
e
.
- Diferenciando a identidade
em
, o lado esquerdo é zero porque
é constante. Assim
- Substituindo
e vem
- Como
, podemos cancelar e obter a equação escalar
- Reorganizando,
O lado direito é uma constante (depende apenas de
e do sinal
), logo
é constante em
, como queríamos mostrar.
Passo 6
Interpretação do valor constante e observação do sinal.
- Assim encontramos explicitamente
Se
então
; se
então
. Em qualquer caso, a razão é constante.
Passo 7
Mostrar a implicação recíproca (útil para concluir que a curva é hélice generalizada).
- Agora suponha que
seja constante em . Denote essa constante por . Se é finito, existe um ângulo (com ) e sinal tais que . - Defina então, para todo
,
Calculando
e usando as equações de Frenet exatamente como no passo anterior, obtemos
porque
. Assim
, i.e.
é constante ao longo de
. Logo existe um vetor fixo
tal que
para todo
. Isso significa que o ângulo entre
e
é constante, definição de hélice generalizada.
- Portanto a condição
constante é equivalente (localmente) à propriedade de ser hélice generalizada.