Prove:
Seja \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco, com curvatura \kappa(s)>0 para todo s \in I. Mostre que, se existe um vetor unitário fixo v \in \mathbb{R}^{3} tal que o ângulo entre o vetor tangente T(s) e v é constante para todo s \in I, então a razão \frac{\tau(s)}{\kappa(s)} é constante em I. Conclua que \gamma é uma hélice generalizada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo pegado do enunciado):
  • \gamma:I\to\mathbb{R}^3 é uma curva regular parametrizada por comprimento de arco s.
  • O vetor tangente é T(s)=\gamma'(s) e a curvatura satisfaz \kappa(s)>0 para todo s\in I.
  • Existe um vetor fixo unitário v\in\mathbb{R}^3 tal que o ângulo entre T(s) e v é constante para todo s\in I. Isso equivale a dizer que o produto escalar \langle T(s),v\rangle é constante em s.
O que o problema pede:
  • Mostrar que a razão \dfrac{\tau(s)}{\kappa(s)} é constante em I, onde \tau(s) é a torsão de \gamma.
  • Concluir que \gamma é uma hélice generalizada (ou seja: há uma direção fixa que faz ângulo constante com o tangente).

Passo 2

Relembrando as definições e as fórmulas de Frenet (tudo explicado passo a passo):
  • Como \gamma está parametrizada por comprimento de arco, T(s)=\gamma'(s) é unitário: \|T(s)\|=1.
  • A curvatura \kappa(s) é definida por
\kappa(s)=\|T'(s)\|.
Como \kappa(s)>0, T'(s)\neq 0 e podemos definir o vetor normal principal
N(s)=\frac{T'(s)}{\kappa(s)},
que é unitário e ortogonal a T(s).
  • O binormal é definido por
B(s)=T(s)\times N(s),
também unitário, e (T,N,B) forma a base de Frenet ortonormal ao longo da curva.
  • As equações de Frenet-Serret (que descrevem as derivadas dessa base ao longo de s) são
T'(s)=\kappa(s)N(s),
N'(s)=-\kappa(s)T(s)+\tau(s)B(s),
B'(s)=-\tau(s)N(s),
onde \tau(s) é a torsão. Estas fórmulas vêm de derivar os vetores unitários e usar ortogonalidade e normalização; aqui só usaremos explicitamente T'=\kappa N e B'=-\tau N.

Passo 3

Usar a hipótese de ângulo constante entre T(s) e v.
  • Se o ângulo entre T(s) e v é constante, existe um ângulo \theta tal que, para todo s,
\langle T(s),v\rangle=\cos\theta,
com \cos\theta constante. (Aqui \theta é esse ângulo fixo; pode-se tomar \theta\in[0,\pi].)
  • Derivando em s obtemos
\frac{d}{ds}\langle T(s),v\rangle=\langle T'(s),v\rangle=0,
pois o lado esquerdo é derivada da constante \cos\theta.
  • Usando T'(s)=\kappa(s)N(s) segue
\kappa(s)\langle N(s),v\rangle=0.
Como \kappa(s)>0 por hipótese, devemos ter
\langle N(s),v\rangle=0\quad\text{para todo }s\in I.
Portanto o vetor fixo v é ortogonal a N(s) para todo s.

Passo 4

Expressar v na base de Frenet e determinar seus coeficientes.
  • A base (T(s),N(s),B(s)) é ortonormal. A condição \langle N(s),v\rangle=0 diz que v pertence ao plano gerado por T(s) e B(s) para cada s. Como \langle T(s),v\rangle=\cos\theta, escrevemos
v=\cos\theta\,T(s)+\lambda(s)\,B(s),
para algum escalar \lambda(s).
  • Tomando norma em ambos os lados e lembrando \|v\|=1 e \|T\|=\|B\|=1 e ortogonalidade dos vetores, obtemos
1=\|v\|^2=\cos^2\theta+\lambda(s)^2,
logo
\lambda(s)^2=\sin^2\theta.
Assim \lambda(s)=\pm\sin\theta. Como v é fixo (não depende de s), o sinal não pode oscilar ao longo de s continuamente sem causar descontinuidade; portanto existe um sinal fixo \varepsilon\in\{+1,-1\} com
v=\cos\theta\,T(s)+\varepsilon\sin\theta\,B(s)\quad\text{para todo }s.
(Nota didática: escolher \varepsilon é escolher a orientação do componente na direção de B.)

Passo 5

Diferenciar a expressão que representa v e usar Frenet para relacionar \tau e \kappa.
  • Diferenciando a identidade
v=\cos\theta\,T(s)+\varepsilon\sin\theta\,B(s)
em s, o lado esquerdo é zero porque v é constante. Assim
0=\cos\theta\,T'(s)+\varepsilon\sin\theta\,B'(s).
  • Substituindo T'(s)=\kappa(s)N(s) e B'(s)=-\tau(s)N(s) vem
0=\cos\theta\,\kappa(s)N(s)+\varepsilon\sin\theta\,(-\tau(s)N(s)).
  • Como N(s)\neq 0, podemos cancelar N(s) e obter a equação escalar
\kappa(s)\cos\theta-\varepsilon\,\tau(s)\sin\theta=0.
  • Reorganizando,
\frac{\tau(s)}{\kappa(s)}=\varepsilon\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\varepsilon\cot\theta.
O lado direito é uma constante (depende apenas de \theta e do sinal \varepsilon), logo \dfrac{\tau(s)}{\kappa(s)} é constante em s, como queríamos mostrar.

Passo 6

Interpretação do valor constante e observação do sinal.
  • Assim encontramos explicitamente
\frac{\tau(s)}{\kappa(s)}=\text{constante}=\varepsilon\cot\theta.
Se \varepsilon=+1 então \tau/\kappa=\cot\theta; se \varepsilon=-1 então \tau/\kappa=-\cot\theta. Em qualquer caso, a razão é constante.

Passo 7

Mostrar a implicação recíproca (útil para concluir que a curva é hélice generalizada).
  • Agora suponha que \dfrac{\tau(s)}{\kappa(s)} seja constante em I. Denote essa constante por c. Se c é finito, existe um ângulo \theta (com 0<\theta<\pi) e sinal \varepsilon tais que c=\varepsilon\cot\theta.
  • Defina então, para todo s,
v(s)=\cos\theta\,T(s)+\varepsilon\sin\theta\,B(s).
Calculando v'(s) e usando as equações de Frenet exatamente como no passo anterior, obtemos
v'(s)=(\kappa\cos\theta-\varepsilon\tau\sin\theta)N(s)=0
porque \tau/\kappa=\varepsilon\cot\theta. Assim v'(s)=0, i.e. v(s) é constante ao longo de s. Logo existe um vetor fixo v tal que \langle T(s),v\rangle=\cos\theta para todo s. Isso significa que o ângulo entre T(s) e v é constante, definição de hélice generalizada.
  • Portanto a condição \tau/\kappa= constante é equivalente (localmente) à propriedade de ser hélice generalizada.

Resposta

\displaystyle \frac{\tau(s)}{\kappa(s)}=\varepsilon\cot\theta (constante em I, com \varepsilon\in\{+1,-1\} e \theta o ângulo fixo entre T e v).
\gamma é uma hélice generalizada.

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