Mostre que os seguintes conjuntos de vetores são base de R^n.
(a) u1 & =(1,1, ldots, 1,1,1) u2 & =(1,1, ldots, 1,1,0) u3 & =(1,1, ldots, 1,0,0) & vdots un & =(1,0, ldots, 0,0,0)

Passo 1

O enunciado nos dá em R^n os vetores
u1=(1,1,dots,1), u2=(1,1,dots,1,0), u3=(1,1,dots,0,0),;dots,; un=(1,0,dots,0,0)
e pede para mostrar que eles formam uma base de R^n.
O conteúdo usado será o critério de independência linear e a propriedade de que n vetores independentes em R^n geram todo o espaço.

Passo 2

Suponha que exista combinação linear nula
Vamos escrever essa igualdade coordenada a coordenada. Note que, na -ésima coordenada (contando de 1 até de cima para baixo), apenas os vetores têm entrada igual a 1; os demais têm 0. Portanto, para cada obtemos

Passo 3

Analisando da última para a primeira coordenada:
  • Na coordenada n só aparece alpha1, logo alpha1=0
  • Na coordenada n-1 aparece alpha1+alpha2=0. Como alpha1=0, segue alpha2=0
  • Seguindo esse raciocínio, na coordenada n-k+1 vem
    alpha1+alpha2+cdots+alphak=0. Todos alpha1,dots,alphak-1 já são zero, logo alphak=0
Repetindo até k=n, concluímos alpha1=alpha2=cdots=alphan=0. Assim, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Tendo n vetores independentes em R^n, pelo teorema da dimensão, eles formam automaticamente um sistema gerador de R^n. Portanto, é uma base de R^n.

Resposta

O conjunto u1,u2,dots,un é base de R^n.

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