Determine se os seguintes conjuntos de vetores formam uma base de R^4.
(a) lu1=(1,2,-1,-2) u2=(2,3,0,-1) u3=(1,2,1,3) u4=(1,3,-1,0)

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^4:
u1=(1,2,-1,-2), u2=(2,3,0,-1), u3=(1,2,1,3), u4=(1,3,-1,0),
e pede para decidir se eles formam uma base de R^4. Para isso, vamos checar se são linearmente independentes (isto é, se o posto da matriz que os tem como colunas é 4).

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são os ui:
M = 1 & 2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 & 3 -1& 0 & 1 & -1 -2&-1 & 3 & 0
Aplicando eliminação de Gauss:
R2 & R2-2R1, R3 R3+R1, R4 R4+2R1 ;Longrightarrow; 1 & 2 & 1 & 1 0 & -1& 0 & 1 0 & 2 & 2 & 0 0 & 3 & 5 & 2 , R2& -R2,; R3 R3-2R2,; R4 R4-3R2 ;Longrightarrow; 1 & 2 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 2 & 2 0 & 0 & 5 & 5

Passo 3

Continuando a redução:
R3 tfrac12R3, R4 R4-5R3 ;Longrightarrow; 1 & 2 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0
Essa é a forma escalonada reduzida.

Passo 4

Da forma escalonada vemos que o posto de M é 3<4, logo há dependência linear. De fato, se chamarmos as componentes do vetor solução livre por t, obtemos
-2u1 + u2 - u3 + u4 = 0,
ou seja, u4 = 2u1 - u2 + u3.

Resposta

Não formam uma base de R^4.

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