Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
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Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
2l(xy^2 - x^-3r) + l(2x^2y - y^-2r)dydx = 0
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: precisamos mostrar que ela é exata e então encontrar a função potencial ψ(x,y) cuja curva de nível ψ(x,y)=C é a solução geral.

Passo 2

Primeiro identificamos
M(x,y) = 2l(xy^2 - x^-3r) = 2xy^2 - 2x^-3,
N(x,y) = 2x^2y - y^-2
Agora verificamos a condição de exatidão calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 4xy,
partial Npartial x = 4xy
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial ψ(x,y) satisfazendo partial ψ/partial x = M, integramos M em relação a x:
ψ(x,y) = integrall(2xy^2 - 2x^-3r),dx = y^2x^2 + x^-2 + h(y),
onde h(y) é uma função de y só.

Passo 4

Agora usamos a condição partial ψ/partial y = N. Calculamos
partial ψpartial y = 2x^2y + h'(y)
e igualamos a N = 2x^2y - y^-2. Isso dá
h'(y) = -y^-2 Longrightarrow h(y) = integral -y^-2,dy = y^-1 + C1
Podemos absorver C1 na constante final.

Passo 5

Portanto a função potencial é
ψ(x,y) = x^2y^2 + x^-2 + y^-1
A solução geral da equação diferencial está dada implicitamente por
ψ(x,y) = C,
out seja
x^2y^2 + 1x^2 + 1y = C

Resposta

x^2y^2 + 1x^2 + 1y = C

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