Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: precisamos mostrar que ela é exata e então encontrar a função potencial ψ(x,y) cuja curva de nível ψ(x,y)=C é a solução geral.
Passo 2
Primeiro identificamos
Agora verificamos a condição de exatidão calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para achar a função potencial ψ(x,y) satisfazendo
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função de
só.
Passo 4
Agora usamos a condição
. Calculamos
e igualamos a
. Isso dá
Podemos absorver
na constante final.
Passo 5
Portanto a função potencial é
A solução geral da equação diferencial está dada implicitamente por
out seja