Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
é exata e, a partir disso, encontrar a solução geral. O conteúdo envolve equações diferenciais exatas, onde precisamos identificar as funções
Passo 2
Identificamos
Para checar exatidão, calculamos:
Como os dois parciais coincidem, a equação é exata.
Passo 3
Agora vamos construir a função potencial
, que satisfaz
$$\frac{\partial \phi}{\partial x}=M(x,y).
\phi(x,y)=\int(3x^{2}+4xy),dx =x{3}+2x{2}y+h(y),
$$
onde é uma função desconhecida de
.
onde
Passo 4
Para encontrar
, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Daí vem
, logo
$$h(y)=y^{2}+C_{1}.
$$
Substituindo em e agrupando a constante geral
, obtemos a solução implícita:
Substituindo em