Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
3x^2+4xy+(2x^2+2y)y'=0
é exata e, a partir disso, encontrar a solução geral. O conteúdo envolve equações diferenciais exatas, onde precisamos identificar as funções M(x,y) e N(x,y) e verificar se partial M/partial y=partial N/partial x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=3x^2+4xy, N(x,y)=2x^2+2y
Para checar exatidão, calculamos:
partial Mpartial y=4x, partial Npartial x=4x
Como os dois parciais coincidem, a equação é exata.

Passo 3

Agora vamos construir a função potencial phi(x,y), que satisfaz
$$\frac{\partial \phi}{\partial x}=M(x,y).
partial phipartial x=M(x,y) çã
\phi(x,y)=\int(3x^{2}+4xy),dx =x{3}+2x{2}y+h(y),
$$
onde x é uma função desconhecida de phi(x,y)=integral(3x^2+4xy),dx =x^3+2x^2y+h(y), .

Passo 4

Para encontrar h(y), diferenciamos phi(x,y) em relação a y e igualamos a N(x,y):
partial phipartial y=2x^2+h'(y)=N(x,y)=2x^2+2y
Daí vem h'(y)=2y, logo
$$h(y)=y^{2}+C_{1}.
$$
Substituindo em h(y)=y^2+C1 e agrupando a constante geral phi, obtemos a solução implícita:

Resposta

x^3+2x^2y+y^2=C

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