Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
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Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem na forma M(x,y)+N(x,y)y'=0, onde M(x,y)=2xy+y^3 e N(x,y)=x^2+3xy^2. O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos verificar a exatidão e depois achar a função potencial que nos dá a solução geral.

Passo 2

Para testar a exatidão, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=2x+3y^2,
partial Npartial x=2x+3y^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função F(x,y) tal que:
partial Fpartial x=M(x,y)=2xy+y^3
Integramos em relação a x:
F(x,y)=integral(2xy+y^3),dx=x^2y+xy^3+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos partial F/partial y=N(x,y)=x^2+3xy^2. Calculando:
partial Fpartial y=x^2+3xy^2+h'(y)
para coincidir com N precisamos de h'(y)=0, logo h(y)=C (constante). Assim a função potencial é
F(x,y)=x^2y+xy^3+C

Resposta

x^2y+xy^3=C

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