Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem na forma
, onde
e
. O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos verificar a exatidão e depois achar a função potencial que nos dá a solução geral.
Passo 2
Para testar a exatidão, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função
tal que:
Integramos em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Agora impomos
. Calculando:
para coincidir com
precisamos de
, logo
(constante). Assim a função potencial é