Encontre a área da superfície representada pela fórmula paramétrica F(u, v)=(u, v, 5-u-v), cujo o domínio dado pelo disco D=(u, v) mid u^2+v^2 <= 4.

Passo 1

Temos a superfície paramétrica
F(u,v) = (u, v, 5−u−v) cujo domínio é o disco D = {(u,v) ∣ u²+v² ≤ 4}. O conteúdo é cálculo de área de superfície paramétrica usando produto vetorial das derivadas parciais.

Passo 2

Para achar a área, primeiro calculamos as derivadas parciais:
Fu = ∂F∂u = (1, 0, -1),
Fv = ∂F∂v = (0, 1, -1)

Passo 3

Em seguida calculamos o produto vetorial:
Fu times Fv = (1,0,-1) times (0,1,-1) = (1,1,1)

Passo 4

Agora obtemos a norma desse vetor, que dá o elemento de área:
|Fu times Fv| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3

Passo 5

A área da superfície é
integral duplaD |Fu times Fv| ,dA = integral duplaD raiz3 ,dA = raiz3 cdot Área(D) Á

Passo 6

O disco D tem raio 2, logo
Área(D) = pi cdot 2^2 = 4pi Á
Multiplicando, a área da superfície é 4\pi\sqrt{3}.

Passo 7

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