Mostre que as seguintes equações diferenciais são homogêneas cdot e resol-va-as.
v^3 d u+(u^3-u v^2) d v=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a equação diferencial dada é homogênea e, depois, resolver ela. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais, especificamente as homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar identificar se a equação é realmente homogênea e, se for, aplicar uma substituição que facilita a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial de primeira ordem na forma $ M(u, v) du + N(u, v) dv = 0 $ é homogênea se as funções $ M $ e $ N $ forem homogêneas do mesmo grau. Isso quer dizer que se a gente multiplicar $ u $ e $ v $ por um fator $ t $, as funções $ M(tu, tv) $ e $ N(tu, tv) $ serão iguais a $ t^n M(u, v) $ e $ t^n N(u, v) $, respectivamente, onde $ n $ é o grau de homogeneidade.

Passo 3

Vamos verificar se nossa equação é homogênea. A equação dada é:
v^3 du + (u^3 - u v^2) dv = 0
Aqui, temos $ M(u, v) = v^{3} $ e $ N(u, v) = u^{3} - u v^{2} $. Vamos ver o grau de homogeneidade de cada um:
  • Para $ M(u, v) = v^{3} $, se multiplicarmos $ u $ e $ v $ por $ t $, fica $ M(tu, tv) = (tv)^{3} = t^{3} v^{3} = t^{3} M(u, v) $.
  • Para $ N(u, v) = u^{3} - u v^{2} $, temos $ N(tu, tv) = (tu)^{3} - (tu)(tv)^{2} = t^{3} u^{3} - t^{3} u v^{2} = t{3}(u{3} - u v^{2}) = t^{3} N(u, v) $.
Como $ M $ e $ N $ são homogêneos de grau 3, a equação diferencial é homogênea.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos fazer uma substituição para facilitar a resolução. A substituição comum é $ w = \frac{v}{u} $. Vamos definir $ w = \frac{v}{u} $, então $ v = w u $. Diferenciando ambos os lados em relação a $ u $:
w = vu
Agora, substituímos $ v $ e $ dv $ na equação original:
w = vu
Simplificando:
v = w u

Passo 5

Vamos distribuir e simplificar os termos:
w^3 u^3 du + u^3(1 - w^2)w du + u^4(1 - w^2) dw = 0 w^3 u^3 du + w (1 - w^2) u^3 du + u^4(1 - w^2) dw = 0
Agora, observamos que os termos com $ du $ podem ser combinados:
du
Dividindo toda a equação por $ u^{3} $:
u^3 [w^3 + w (1 - w^2)] du + u^4(1 - w^2) dw = 0 u^3 [w^3 + w - w^3] du + u^4(1 - w^2) dw = 0 u^3 w du + u^4(1 - w^2) dw = 0

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para separarmos as variáveis:
w du + u (1 - w^2) dw = 0 w du = -u (1 - w^2) dw duu = -(1 - w^2)w dw
Agora, temos as variáveis separadas, prontas para serem integradas:
integral 1u du = -integral 1 - w^2w dw

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados:
integral 1u du = ln |u| + C1 -integral 1 - w^2w dw = -integral ( 1w - w ) dw = -ln |w| + w^22 + C2
Igualando as integrais:
ln |u| = -ln |w| + w^22 + C
Onde $ C = C_2 - C_1 $ é a constante de integração.

Passo 8

Substituindo $ w = \frac{v}{u} $ de volta na equação:
w = vu
Simplificando:
ln |u| = -ln | vu | + 12 ( vu )^2 + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
ln |v| = v^22u^2 + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Exercícios relacionados