Mostre que as seguintes equações diferenciais são homogêneas
resol-va-as.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a equação diferencial dada é homogênea e, depois, resolver ela. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais, especificamente as homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar identificar se a equação é realmente homogênea e, se for, aplicar uma substituição que facilita a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial de primeira ordem na forma $ M(u, v) du + N(u, v) dv = 0 $ é homogênea se as funções $ M $ e $ N $ forem homogêneas do mesmo grau. Isso quer dizer que se a gente multiplicar $ u $ e $ v $ por um fator $ t $, as funções $ M(tu, tv) $ e $ N(tu, tv) $ serão iguais a $ t^n M(u, v) $ e $ t^n N(u, v) $, respectivamente, onde $ n $ é o grau de homogeneidade.
Passo 3
Vamos verificar se nossa equação é homogênea. A equação dada é:
Aqui, temos $ M(u, v) = v^{3} $ e $ N(u, v) = u^{3} - u v^{2} $. Vamos ver o grau de homogeneidade de cada um:
- Para $ M(u, v) = v^{3} $, se multiplicarmos $ u $ e $ v $ por $ t $, fica $ M(tu, tv) = (tv)^{3} = t^{3} v^{3} = t^{3} M(u, v) $.
- Para $ N(u, v) = u^{3} - u v^{2} $, temos $ N(tu, tv) = (tu)^{3} - (tu)(tv)^{2} = t^{3} u^{3} - t^{3} u v^{2} = t{3}(u{3} - u v^{2}) = t^{3} N(u, v) $.
Como $ M $ e $ N $ são homogêneos de grau 3, a equação diferencial é homogênea.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos fazer uma substituição para facilitar a resolução. A substituição comum é $ w = \frac{v}{u} $. Vamos definir $ w = \frac{v}{u} $, então $ v = w u $. Diferenciando ambos os lados em relação a $ u $:
Agora, substituímos $ v $ e $ dv $ na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Vamos distribuir e simplificar os termos:
Agora, observamos que os termos com $ du $ podem ser combinados:
Dividindo toda a equação por $ u^{3} $:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para separarmos as variáveis:
Agora, temos as variáveis separadas, prontas para serem integradas:
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados:
Igualando as integrais:
Onde $ C = C_2 - C_1 $ é a constante de integração.
Passo 8
Substituindo $ w = \frac{v}{u} $ de volta na equação:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde $ C $ é a constante de integração.