Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo.
l (y+2) d x+y(x+4) d y=0 x(-1)=-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial separável envolvendo $ x $ e $ y $. O objetivo é resolver essa equação e encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz a condição inicial $ x(-1) = -3 $. Pra isso, vamos separar as variáveis e integrar os dois lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
(y + 2) , dx + y(x + 4) , dy = 0
A ideia é organizar essa equação para separar os termos que envolvem $ x $ dos que envolvem $ y $.

Passo 3

Vamos isolar $ dx $:
dx
Agora, dividimos ambos os lados por $ y(y + 2) $ para separar as variáveis:
(y + 2) , dx = -y(x + 4) , dy

Passo 4

Agora, reorganizamos para que todos os termos com $ x $ fiquem de um lado e os com $ y $ do outro:
x

Passo 5

Chegamos na parte de integrar ambos os lados da equação. Vamos calcular as integrais:
integral 1x + 4 , dx = -integral yy + 2 , dy

Passo 6

Vamos resolver as integrais uma por uma. No lado esquerdo:
integral 1x + 4 , dx = ln|x + 4| + C1
No lado direito, simplificamos a fração antes de integrar:
yy + 2 = 1 - 2y + 2
Então, integramos:
-integral (1 - 2y + 2) , dy = -y + 2 ln|y + 2| + C2

Passo 7

Igualando as duas integrais:
ln|x + 4| + C1 = -y + 2 ln|y + 2| + C2
Podemos simplificar as constantes ($ C = C_2 - C_1 $):
C = C2 - C1

Passo 8

Agora, vamos aplicar a condição inicial $ x(-1) = -3 $. Substituindo $ x = -3 $ e $ y = -1 $:
x(-1) = -3
x = -3
Sabendo que $ \ln(1) = 0 $, temos:
y = -1

Resposta

A solução da equação diferencial é:
ln(x + 4) = -y + 2 ln(y + 2) - 1

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