Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial separável envolvendo $ x $ e $ y $. O objetivo é resolver essa equação e encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz a condição inicial $ x(-1) = -3 $. Pra isso, vamos separar as variáveis e integrar os dois lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada:
A ideia é organizar essa equação para separar os termos que envolvem $ x $ dos que envolvem $ y $.
Passo 3
Vamos isolar $ dx $:
Agora, dividimos ambos os lados por $ y(y + 2) $ para separar as variáveis:
Passo 4
Agora, reorganizamos para que todos os termos com $ x $ fiquem de um lado e os com $ y $ do outro:
Passo 5
Chegamos na parte de integrar ambos os lados da equação. Vamos calcular as integrais:
Passo 6
Vamos resolver as integrais uma por uma. No lado esquerdo:
No lado direito, simplificamos a fração antes de integrar:
Então, integramos:
Passo 7
Igualando as duas integrais:
Podemos simplificar as constantes ($ C = C_2 - C_1 $):
Passo 8
Agora, vamos aplicar a condição inicial $ x(-1) = -3 $. Substituindo $ x = -3 $ e $ y = -1 $:
Sabendo que $ \ln(1) = 0 $, temos:
Resposta
A solução da equação diferencial é: