Resolva as seguintes equações diferenciais por algum método estudado.
x d yd x+y=-2 x^6 y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
x dydx + y = -2 x^6 y^4
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que relaciona $ y $ e $ x $. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a reorganizar a equação de forma que todas as $ y $ fiquem de um lado e todas as $ x $ do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar $ \frac{dy}{dx} $. Começamos dividindo todos os termos por $ x $:
dydx

Passo 3

Agora, percebemos que a equação está na forma linear:
dydx + P(x) y = Q(x) y^n
Onde $ P(x) = \frac{1}{x} $ e $ Q(x) = -2 x^{5} $. No nosso caso, como temos $ y^{4} $, esse termo torna a equação não linear, mas podemos tentar transformá-la em uma equação separável.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja $ u = y^{-3} $. Então, calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u = y^-3

Passo 5

Substituindo $ \frac{dy}{dx} $ da equação original na expressão para $ \frac{du}{dx} $:
dydx
Mas como $ u = y^{-3} $, temos:
dudx

Passo 6

Agora, temos uma equação linear em termos de $ u $:
u
Para resolver isso, vamos usar um fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
dudx - 3x u = 6 x^5

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
x^-3 dudx - 3x^4 u = 6 x^2
Isso simplifica para:
ddx ( x^-3 u ) = 6 x^2

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para $ u $:
u
Lembrando que $ u = y^{-3} $, então:
u = x^3 ( 2 x^3 + C ) = 2 x^6 + C x^3

Passo 10

Finalmente, isolamos $ y $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = ( 2 x^6 + C x^3 )^- 13

Exercícios relacionados