Resolva as seguintes equações diferenciais por algum método estudado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que relaciona $ y $ e $ x $. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a reorganizar a equação de forma que todas as $ y $ fiquem de um lado e todas as $ x $ do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar $ \frac{dy}{dx} $. Começamos dividindo todos os termos por $ x $:
Passo 3
Agora, percebemos que a equação está na forma linear:
Onde $ P(x) = \frac{1}{x} $ e $ Q(x) = -2 x^{5} $. No nosso caso, como temos $ y^{4} $, esse termo torna a equação não linear, mas podemos tentar transformá-la em uma equação separável.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja $ u = y^{-3} $. Então, calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Passo 5
Substituindo $ \frac{dy}{dx} $ da equação original na expressão para $ \frac{du}{dx} $:
Mas como $ u = y^{-3} $, temos:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear em termos de $ u $:
Para resolver isso, vamos usar um fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para $ u $:
Lembrando que $ u = y^{-3} $, então:
Passo 10
Finalmente, isolamos $ y $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: