Resolva as seguintes equações diferenciais exatas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você mandou:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas, que são aquelas onde a equação pode ser escrita como a derivada total de uma função. Vamos precisar usar o conceito de exatidão e integrar as partes apropriadas para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam $ dt $ e $ ds $. No nosso caso:
- $ M(t, s) = s^{2} e^{-t} $
- $ N(t, s) = -2s e^{-t} $
Para uma equação ser exata, a derivada parcial de $ M $ em relação a $ s $ deve ser igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ t $. Vamos verificar isso.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
- $ \frac{\partial M}{\partial s} = 2s e^{-t} $
- $ \frac{\partial N}{\partial t} = 2s e^{-t} $
Como $ \frac{\partial M}{\partial s} = \frac{\partial N}{\partial t} $, a equação é realmente exata. Isso significa que existe uma função $ F(t, s) $ tal que:
Passo 4
Agora, vamos encontrar $ F(t, s) $ integrando $ M $ em relação a $ t $:
Aqui, $ g(s) $ é uma função que depende apenas de $ s $ e que aparece como constante de integração.
Passo 5
Para determinar $ g(s) $, vamos derivar $ F(t, s) $ em relação a $ s $ e igualar a $ N $:
Isso implica que $ g’(s) = 0 $, então $ g(s) $ é uma constante. Podemos chamar essa constante de $ C $.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante qualquer.