Resolva as seguintes equações diferenciais exatas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essas equações diferenciais exatas que você me passou. Basicamente, estamos lidando com uma equação diferencial onde os termos se combinam de forma especial para facilitar a solução. Para resolver, vamos precisar identificar uma função potencial que, ao ser diferenciada, nos dá os termos que temos na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Aqui, temos $ M(x, y) = 2xy - 3 $ e $ N(x, y) = x^2 + 4y $.
Passo 3
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função $ F(x, y) $ tal que:
Vamos encontrar $ F(x, y) $ integrando $ M $ em relação a $ x $.
Passo 4
Integrando $ M = 2xy - 3 $ em relação a $ x $:
Aqui, $ g(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.
Passo 5
Agora, vamos derivar $ F(x, y) $ com relação a $ y $ e igualar a $ N $:
Comparando, temos:
A constante $ C $ pode ser ignorada, já que será absorvida na solução geral.
Passo 6
Substituindo $ g(y) $ de volta em $ F(x, y) $:
A solução geral é $ F(x, y) = constante $.
Passo 7
Aplicando a condição inicial $ y(1) = 2 $:
Então, a constante é 7.
Resposta
A solução da equação diferencial é: