Resolva as seguintes equações diferenciais exatas:
l (2 x y-3) d x+(x^2+4 y) d y=0 y(1)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas equações diferenciais exatas que você me passou. Basicamente, estamos lidando com uma equação diferencial onde os termos se combinam de forma especial para facilitar a solução. Para resolver, vamos precisar identificar uma função potencial que, ao ser diferenciada, nos dá os termos que temos na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
(2xy - 3),dx + (x^2 + 4y),dy = 0
Aqui, temos $ M(x, y) = 2xy - 3 $ e $ N(x, y) = x^2 + 4y $.

Passo 3

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)
Vamos encontrar $ F(x, y) $ integrando $ M $ em relação a $ x $.

Passo 4

Integrando $ M = 2xy - 3 $ em relação a $ x $:
M = 2xy - 3
Aqui, $ g(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.

Passo 5

Agora, vamos derivar $ F(x, y) $ com relação a $ y $ e igualar a $ N $:
F(x, y)
Comparando, temos:
y
A constante $ C $ pode ser ignorada, já que será absorvida na solução geral.

Passo 6

Substituindo $ g(y) $ de volta em $ F(x, y) $:
g(y)
A solução geral é $ F(x, y) = constante $.

Passo 7

Aplicando a condição inicial $ y(1) = 2 $:
y(1) = 2
Então, a constante é 7.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
x^2 y - 3x + 2y^2 = 7

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