Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo.
tg theta d r+2 r d theta=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial separável:
tg theta , dr + 2r , dtheta = 0
Isso significa que podemos separar as variáveis $ r $ e $ \theta $ para facilitar a resolução. Para resolver essa equação, vamos precisar usar técnicas de cálculo diferencial, especificamente a separação de variáveis.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para isolar $ dr $ e $ d\theta $. Primeiro, colocamos todos os termos envolvendo $ r $ em um lado e os termos envolvendo $ \theta $ no outro:
dr

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis $ r $ e $ \theta $. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por $ r $ e por $ \operatorname{tg} \theta $:
r
Lembrando que $ \operatorname{tg} \theta = \tan \theta $.

Passo 4

Simplificamos o lado direito da equação usando a identidade trigonométrica $ \frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta $:
1tan theta = cot theta

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados para encontrar as soluções das variáveis separadas:
integral 1r , dr = integral -2 cot theta , dtheta

Passo 6

Resolvendo as integrais:
  • A integral do lado esquerdo:
integral 1r , dr = ln |r| + C1
  • A integral do lado direito:
Sabemos que $ \int \cot \theta , d\theta = \ln |\sin \theta| + C_2 $, então:
integral cot theta , dtheta = ln |sin theta| + C2

Passo 7

Juntando as duas integrais, temos:
ln |r| + C1 = -2 ln |sin theta| + C2
Podemos combinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $:
C1

Passo 8

Para simplificar, podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
r = e^C cdot (sin theta)^-2
Podemos chamar $ e^{C} $ de outra constante $ K $, então:
e^C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
r = K cdot csc^2 theta
Onde $ K $ é uma constante arbitrária.

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