Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial separável:
Isso significa que podemos separar as variáveis $ r $ e $ \theta $ para facilitar a resolução. Para resolver essa equação, vamos precisar usar técnicas de cálculo diferencial, especificamente a separação de variáveis.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para isolar $ dr $ e $ d\theta $. Primeiro, colocamos todos os termos envolvendo $ r $ em um lado e os termos envolvendo $ \theta $ no outro:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis $ r $ e $ \theta $. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por $ r $ e por $ \operatorname{tg} \theta $:
Lembrando que $ \operatorname{tg} \theta = \tan \theta $.
Passo 4
Simplificamos o lado direito da equação usando a identidade trigonométrica $ \frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta $:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados para encontrar as soluções das variáveis separadas:
Passo 6
Resolvendo as integrais:
- A integral do lado esquerdo:
- A integral do lado direito:
Sabemos que $ \int \cot \theta , d\theta = \ln |\sin \theta| + C_2 $, então:
Passo 7
Juntando as duas integrais, temos:
Podemos combinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $:
Passo 8
Para simplificar, podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos chamar $ e^{C} $ de outra constante $ K $, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ K $ é uma constante arbitrária.