Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma raiz e que em cada caso a raiz está no intervalo
.
a)
;
b)
;
Determine essas raízes, com duas casas decimais corretas, usando o método da bissecção. Utilize o critério
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para cada uma das equações abaixo: (i) mostrar que existe exatamente uma raiz em
(vou usar vírgula para decimais, como você pediu) e (ii) determinar essa raiz com duas casas decimais corretas usando o método da bissecção, com o critério
.\n
As equações são:\n
a) \n
b) \n
Informações relevantes do enunciado que vamos usar: os intervalos onde procurar a raiz são em ambos os casos e o critério de parada pedido é do tipo
. Também precisamos devolver as raízes com duas casas decimais corretas (arredondadas).
As equações são:\n
a)
b)
Informações relevantes do enunciado que vamos usar: os intervalos onde procurar a raiz são
Passo 2
Estratégia geral (sem resolver ainda): vou primeiro provar existência e unicidade de uma raiz em
para cada função usando o Teorema do Valor Intermediário (existência) e mostrando que a função é estritamente crescente no intervalo (unicidade). Depois aplico o método da bissecção explicitando todas as iterações necessárias até satisfazer o critério
. Antes de iterar, preciso escolher
de modo que a raiz obtida tenha duas casas decimais corretas. Explico como escolher
de forma segura:\n
- Em bissecção, se
é o intervalo na iteração e é o ponto médio, então a distância entre dois pontos médios consecutivos satisfaz\n \n - A incerteza máxima do ponto médio
em relação à raiz real é . Combinando as duas desigualdades, se então e portanto\n \n - Para garantir que
esteja dentro de da raiz (o que assegura duas casas decimais corretas ao arredondar), basta exigir , ou seja .\n
Logo eu escolho. Isso garante que, ao parar quando , a aproximação tem erro absoluto menor que e portanto dá duas casas decimais corretas ao arredondar.
Passo 3
Parte (a): prova de existência e unicidade da raiz para
\n
- Valores nas extremidades do intervalo (peguei os números do enunciado
):\n
Como
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz
em
.\n
- Unicidade: calcule a derivada\n
\n
Para
(e nosso intervalo está em
) vemos que
e
, logo
em
. Assim
é estritamente crescente no intervalo, e portanto a raiz é única.\n
Agora aplico a bissecção com . Vou listar as iterações: em cada linha eu indico
,
,
(aprox.) e a escolha do novo intervalo.\n
Agora aplico a bissecção com
- It.:
. . .\n \n
Sinal positivo, então nova esquerda é
,
.\n
- It.:
. . .\n \n
Sinal negativo, então nova esquerda
,
.\n
- It.:
. . .\n \n
Sinal positivo, nova:
\n
- It.:
. .\n \n
Sinal positivo, nova:
\n
- It.:
. .\n \n
Sinal negativo, nova:
\n
- It.:
. .\n \n
Sinal negativo, nova:
\n
- It.:
. .\n \n
Sinal negativo, nova:
\n
- It.:
. .\n \n
Sinal positivo, nova:
\n
Agora verifique o critério entre os últimos dois pontos médios: Pelo que expliquei no Passo 2, isso garante que o erro absoluto é
, então a aproximação já tem duas casas decimais corretas. A última aproximação obtida foi
; ao arredondar a duas casas decimais obtemos a raiz com duas casas decimais.
Agora verifique o critério entre os últimos dois pontos médios:
Passo 4
Parte (b): prova de existência e unicidade para
\n
- Valores nas extremidades
:\n
Assim existe pelo menos uma raiz em
pelo Teorema do Valor Intermediário.\n
- Unicidade: derivada\n
\n
No intervalo
temos
e
, então
ali; logo
é estritamente crescente, logo a raiz é única.\n
Agora aplico bissecção com . Iterações (mesmo formato que em (a)):\n
Agora aplico bissecção com
- It.:
. . .\n \n
Sinal positivo, nova:
\n
- It.:
. .\n \n
Sinal positivo, nova:
\n
- It.:
. .\n \n
Sinal negativo, nova:
\n
- It.:
. .\n \n
Sinal positivo, nova:
\n
- It.:
. .\n \n
Sinal positivo, nova:
\n
- It.:
. .\n \n
Sinal positivo, nova:
\n
- It.:
. .\n \n
Sinal negativo, nova:
\n
- It.:
. .\n \n
Agora calcule a diferença entre os dois últimos pontos médios:
Portanto o critério está satisfeito e a aproximação tem erro absoluto
, garantindo duas casas decimais corretas ao arredondar. A última aproximação foi
.
Passo 5
Observações didáticas rápidas sobre como executar a bissecção na prova:\n
- Sempre comece checando os sinais em
e . Se e for contínua, existe raiz. Se além disso mantém sinal (por exemplo ), a raiz é única.\n - No método da bissecção você sempre toma
; avalia e escolhe a metade do intervalo que contém a mudança de sinal. Cada iteração reduz o comprimento do intervalo pela metade.\n - Para garantir duas casas decimais corretas arredondadas, é suficiente fazer com que o erro absoluto seja
. Como quando se para com , escolha .\n - Na prova escreva claramente cada iteração (ou pelo menos mostre as iterações até o critério) e mostre o cálculo dos sinais. É importante mostrar que você verificou o critério de parada.
Resposta
a)
\n
b)
b)