Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma raiz e que em cada caso a raiz está no intervalo [0.5,1].
a) x^{2}+\ln x=0;
b) x e^{x}-1=0;
Determine essas raízes, com duas casas decimais corretas, usando o método da bissecção. Utilize o critério \left|x_{k+1}-x_{k}\right|<\epsilon.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para cada uma das equações abaixo: (i) mostrar que existe exatamente uma raiz em [0,5,\,1] (vou usar vírgula para decimais, como você pediu) e (ii) determinar essa raiz com duas casas decimais corretas usando o método da bissecção, com o critério \left|x_{k+1}-x_k\right|<\epsilon.\n
As equações são:\n
a) \;x^{2}+\ln x=0.\n
b) \;x e^{x}-1=0.\n
Informações relevantes do enunciado que vamos usar: os intervalos onde procurar a raiz são \left[0,5,\,1\right] em ambos os casos e o critério de parada pedido é do tipo \left|x_{k+1}-x_k\right|<\epsilon. Também precisamos devolver as raízes com duas casas decimais corretas (arredondadas).

Passo 2

Estratégia geral (sem resolver ainda): vou primeiro provar existência e unicidade de uma raiz em \left[0,5,\,1\right] para cada função usando o Teorema do Valor Intermediário (existência) e mostrando que a função é estritamente crescente no intervalo (unicidade). Depois aplico o método da bissecção explicitando todas as iterações necessárias até satisfazer o critério \left|x_{k+1}-x_k\right|<\epsilon. Antes de iterar, preciso escolher \epsilon de modo que a raiz obtida tenha duas casas decimais corretas. Explico como escolher \epsilon de forma segura:\n
  • Em bissecção, se I_k=[a_k,b_k] é o intervalo na iteração k e x_k=(a_k+b_k)/2 é o ponto médio, então a distância entre dois pontos médios consecutivos satisfaz\n \left|x_{k+1}-x_k\right|=\frac{b_k-a_k}{4}.\n
  • A incerteza máxima do ponto médio x_k em relação à raiz real \xi é |x_k-\xi|\le \dfrac{b_k-a_k}{2}. Combinando as duas desigualdades, se \left|x_{k+1}-x_k\right|<\epsilon então b_k-a_k<4\epsilon e portanto\n |x_k-\xi|<\frac{b_k-a_k}{2}<2\epsilon.\n
  • Para garantir que x_k esteja dentro de \pm 0,005 da raiz (o que assegura duas casas decimais corretas ao arredondar), basta exigir 2\epsilon\le 0,005, ou seja \epsilon\le 0,0025.\n
    Logo eu escolho \epsilon=0,0025. Isso garante que, ao parar quando \left|x_{k+1}-x_k\right|<0,0025, a aproximação tem erro absoluto menor que 0,005 e portanto dá duas casas decimais corretas ao arredondar.

Passo 3

Parte (a): prova de existência e unicidade da raiz para \;f(x)=x^{2}+\ln x.\n
  1. Valores nas extremidades do intervalo (peguei os números do enunciado \left[0,5,\,1\right]):\n
f(0,5)=(0,5)^{2}+\ln(0,5)=0,25+\ln(0,5)=0,25-0,693147\ldots\approx -0,443147\\ (<0),\n
f(1)=1^{2}+\ln(1)=1+0=1\\ (>0).\n
Como f(0,5)<0 e f(1)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz \xi em (0,5,\,1).\n
  1. Unicidade: calcule a derivada\n f'(x)=2x+\frac{1}{x}.\n
Para x>0 (e nosso intervalo está em x>0) vemos que 2x>0 e 1/x>0, logo f'(x)>0 em \left[0,5,\,1\right]. Assim f é estritamente crescente no intervalo, e portanto a raiz é única.\n
Agora aplico a bissecção com \epsilon=0,0025. Vou listar as iterações: em cada linha eu indico [a_k,b_k], x_k, f(x_k) (aprox.) e a escolha do novo intervalo.\n
  • It.: k=1. [a_1,b_1]=[0,5,\,1]. x_1=(0,5+1)/2=0,75.\n f(0,75)=0,75^{2}+\ln(0,75)=0,5625-0,287682\ldots\approx 0,274818>0.\n
Sinal positivo, então nova esquerda é a_2=0,5, b_2=0,75.\n
  • It.: k=2. [a_2,b_2]=[0,5,\,0,75]. x_2=0,625.\n f(0,625)=0,625^{2}+\ln(0,625)=0,390625-0,4700036\ldots\approx -0,079379<0.\n
Sinal negativo, então nova esquerda a_3=0,625, b_3=0,75.\n
  • It.: k=3. [a_3,b_3]=[0,625,\,0,75]. x_3=0,6875.\n f(0,6875)=0,6875^{2}+\ln(0,6875)=0,47265625-0,3746934\ldots\approx 0,0979629>0.\n
Sinal positivo, nova: [a_4,b_4]=[0,625,\,0,6875].\n
  • It.: k=4. x_4=0,65625.\n f(0,65625)=0,65625^{2}+\ln(0,65625)=0,43066406-0,42121347\ldots\approx 0,0094506>0.\n
Sinal positivo, nova: [a_5,b_5]=[0,625,\,0,65625].\n
  • It.: k=5. x_5=0,640625.\n f(0,640625)=0,640625^{2}+\ln(0,640625)=0,41040039-0,44531102\ldots\approx -0,0349106<0.\n
Sinal negativo, nova: [a_6,b_6]=[0,640625,\,0,65625].\n
  • It.: k=6. x_6=0,6484375.\n f(0,6484375)=0,6484375^{2}+\ln(0,6484375)=0,42031860-0,43318969\ldots\approx -0,0128711<0.\n
Sinal negativo, nova: [a_7,b_7]=[0,6484375,\,0,65625].\n
  • It.: k=7. x_7=0,65234375.\n f(0,65234375)=0,65234375^{2}+\ln(0,65234375)=0,42529297-0,42718399\ldots\approx -0,0018910<0.\n
Sinal negativo, nova: [a_8,b_8]=[0,65234375,\,0,65625].\n
  • It.: k=8. x_8=0,654296875.\n f(0,654296875)=0,654296875^{2}+\ln(0,654296875)=0,42823124-0,42419363\ldots\approx 0,00403761>0.\n
Sinal positivo, nova: [a_9,b_9]=[0,65234375,\,0,654296875].\n
Agora verifique o critério entre os últimos dois pontos médios: |x_8-x_7|=|0,654296875-0,65234375|=0,001953125<\epsilon=0,0025. Pelo que expliquei no Passo 2, isso garante que o erro absoluto é <2\epsilon=0,005, então a aproximação já tem duas casas decimais corretas. A última aproximação obtida foi x_8=0,654296875; ao arredondar a duas casas decimais obtemos a raiz com duas casas decimais.

Passo 4

Parte (b): prova de existência e unicidade para \;g(x)=x e^{x}-1.\n
  1. Valores nas extremidades \left[0,5,\,1\right]:\n
g(0,5)=0,5\,e^{0,5}-1\approx 0,5\cdot 1,64872127-1\approx 0,8243606-1\approx -0,1756394<0,\n
g(1)=1\cdot e^{1}-1=e-1\approx 2,7182818-1\approx 1,7182818>0.\n
Assim existe pelo menos uma raiz em (0,5,\,1) pelo Teorema do Valor Intermediário.\n
  1. Unicidade: derivada\n g'(x)=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(1+x).\n
No intervalo \left[0,5,\,1\right] temos 1+x>0 e e^{x}>0, então g'(x)>0 ali; logo g é estritamente crescente, logo a raiz é única.\n
Agora aplico bissecção com \epsilon=0,0025. Iterações (mesmo formato que em (a)):\n
  • It.: k=1. [a_1,b_1]=[0,5,\,1]. x_1=0,75.\n g(0,75)=0,75\,e^{0,75}-1\approx 0,75\cdot 2,1170000-1\approx 1,58775-1\approx 0,58775>0.\n
Sinal positivo, nova: [a_2,b_2]=[0,5,\,0,75].\n
  • It.: k=2. x_2=0,625.\n g(0,625)=0,625\,e^{0,625}-1\approx 0,625\cdot 1,86824596-1\approx 1,1676537-1\approx 0,1676537>0.\n
Sinal positivo, nova: [a_3,b_3]=[0,5,\,0,625].\n
  • It.: k=3. x_3=0,5625.\n g(0,5625)=0,5625\,e^{0,5625}-1\approx 0,5625\cdot 1,75505466-1\approx 0,9870348-1\approx -0,0129652<0.\n
Sinal negativo, nova: [a_4,b_4]=[0,5625,\,0,625].\n
  • It.: k=4. x_4=0,59375.\n g(0,59375)\approx 0,59375\cdot 1,810292-1\approx 1,0746-1\approx 0,0746>0.\n
Sinal positivo, nova: [a_5,b_5]=[0,5625,\,0,59375].\n
  • It.: k=5. x_5=0,578125.\n g(0,578125)\approx 0,578125\cdot 1,78270-1\approx 1,0310-1\approx 0,0310>0.\n
Sinal positivo, nova: [a_6,b_6]=[0,5625,\,0,578125].\n
  • It.: k=6. x_6=0,5703125.\n g(0,5703125)\approx 0,5703125\cdot 1,76884-1\approx 1,0089-1\approx 0,0089>0.\n
Sinal positivo, nova: [a_7,b_7]=[0,5625,\,0,5703125].\n
  • It.: k=7. x_7=0,56640625.\n g(0,56640625)\approx 0,56640625\cdot 1,761915-1\approx 0,9977-1\approx -0,0023\\ (\text{aprox.})<0.\n
Sinal negativo, nova: [a_8,b_8]=[0,56640625,\,0,5703125].\n
  • It.: k=8. x_8=0,568359375.\n g(0,568359375)\approx 0,568359375\cdot 1,765373-1\approx 1,0033-1\approx 0,0033>0.\n
Agora calcule a diferença entre os dois últimos pontos médios: |x_8-x_7|=|0,568359375-0,56640625|=0,001953125<\epsilon=0,0025. Portanto o critério está satisfeito e a aproximação tem erro absoluto <2\epsilon=0,005, garantindo duas casas decimais corretas ao arredondar. A última aproximação foi x_8=0,568359375.

Passo 5

Observações didáticas rápidas sobre como executar a bissecção na prova:\n
  • Sempre comece checando os sinais em a e b. Se f(a)\cdot f(b)<0 e f for contínua, existe raiz. Se além disso f' mantém sinal (por exemplo f'>0), a raiz é única.\n
  • No método da bissecção você sempre toma x_k=(a_k+b_k)/2; avalia f(x_k) e escolhe a metade do intervalo que contém a mudança de sinal. Cada iteração reduz o comprimento do intervalo pela metade.\n
  • Para garantir duas casas decimais corretas arredondadas, é suficiente fazer com que o erro absoluto seja <0,005. Como |x_k-\xi|<2\epsilon quando se para com |x_{k+1}-x_k|<\epsilon, escolha \epsilon\le 0,0025.\n
  • Na prova escreva claramente cada iteração (ou pelo menos mostre as iterações até o critério) e mostre o cálculo dos sinais. É importante mostrar que você verificou o critério de parada.

Resposta

a) 0,65\n
b) 0,57

Exercícios relacionados