Utilizando o processo de isolamento de raízes encontre o(s) intervalo(s) que contenham 1 raiz das funções abaixo:
\cos x-\cos (3 x);

Passo 1

Enunciado claro e dados fornecidos. A função dada é
f(x)=\cos x-\cos(3x).
O que se pede: encontrar intervalos que contenham exatamente uma raiz de f (isolar cada raiz). Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Vamos transformar a função usando uma identidade trigonométrica elementar. A identidade é
\cos A-\cos B = -2\sin\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\!\left(\frac{A-B}{2}\right).
Aplicando com A=x e B=3x obtemos
f(x)=\cos x-\cos(3x)=-2\sin\!\left(\frac{x+3x}{2}\right)\sin\!\left(\frac{x-3x}{2}\right).

Passo 3

Simplificando os argumentos dos senos:
\frac{x+3x}{2}=2x,\qquad \frac{x-3x}{2}=-x,
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f(x)=-2\sin(2x)\sin(-x).
Como \sin(-x)=-\sin x, temos
f(x)=-2\sin(2x)\cdot(-\sin x)=2\sin(2x)\sin x.
Usando \sin(2x)=2\sin x\cos x chegamos a
\boxed{f(x)=4\sin^2 x\cos x.}
Aqui explico o que significa cada fator: \sin^2 x é sempre \ge 0 e \cos x pode ser positivo, negativo ou zero.

Passo 4

Agora resolvemos f(x)=0. Pelo produto temos zeros quando pelo menos um dos fatores é zero:
4\sin^2 x\cos x=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin x=0 \quad\text{ou}\quad \cos x=0.
As soluções são
\sin x=0 \Longrightarrow x=k\pi,\\ k\in\mathbb{Z},
\cos x=0 \Longrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.
Juntando as duas famílias obtemos todas as raízes
\boxed{x=\frac{n\pi}{2},\\ n\in\mathbb{Z}.}
Observação útil: as raízes estão igualmente espaçadas por \frac{\pi}{2} (distância entre raízes consecutivas).

Passo 5

Análise de multiplicidade e comportamento do sinal (importante para isolamento). Como f(x)=4\sin^2 x\cos x,
  • quando \sin x=0 (isto é, x=k\pi) o fator \sin^2 x anula com multiplicidade 2 — raiz de multiplicidade par (dupla). Nesses pontos f geralmente NÃO muda de sinal ao atravessar a raiz.
  • quando \cos x=0 (isto é, x=\frac{\pi}{2}+k\pi) a raiz é simples (multiplicidade 1) porque \cos x aparece em potência 1 — aí normalmente f muda de sinal.
Mesmo que uma raiz seja dupla, continua sendo uma raiz; para isolar uma raiz basta garantir que não haja outra raiz dentro do intervalo escolhido.

Passo 6

Construção dos intervalos de isolamento. Como as raízes são igualmente espaçadas por \frac{\pi}{2}, uma escolha natural e simples é tomar para cada raiz x_0=\dfrac{n\pi}{2} um intervalo simétrico em torno dela com raio \dfrac{\pi}{4}. Ou seja, para cada n\in\mathbb{Z} consideramos
\left(\frac{n\pi}{2}-\frac{\pi}{4},\\ \frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right).
Esses intervalos têm comprimento \dfrac{\pi}{2} dividido por 2 de cada lado e, portanto, não contêm nenhuma outra raiz além de x_0 (porque a distância entre raízes consecutivas é \dfrac{\pi}{2}). Assim cada intervalo contém exatamente uma raiz. Reescrevendo os extremos de forma mais compacta:
\left(\frac{(2n-1)\pi}{4},\\ \frac{(2n+1)\pi}{4}\right),\qquad n\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Verificação rápida por exemplo(s) (ajuda a confiar no método):
  • Para n=0 o intervalo é \left(-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right) e contém a raiz x=0. Os extremos \pm\dfrac{\pi}{4} não são raízes (são pontos do tipo \dfrac{(2n+1)\pi}{4}), de fato \cos(\pi/4)-\cos(3\pi/4)=\sqrt{2}\neq 0.
  • Para n=1 o intervalo é \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right) e contém a raiz x=\dfrac{\pi}{2}. Novamente os extremos não são raízes.
Esses exemplos mostram que a escolha feita isola corretamente cada raiz.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{(2n-1)\pi}{4},\\ \frac{(2n+1)\pi}{4}\right),\quad n\in\mathbb{Z}

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