Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
3 x^2+4 x y+(2 x^2+2 y) y^prime=0.

Passo 1

O exercício apresenta a equação diferencial
3x² + 4xy + (2x² + 2y)y’ = 0, que pertence ao conteúdo de equações diferenciais exatas. Vamos mostrar que ela é exata (checando a condição de exatidão) e depois encontrar a função potencial cuja constância dá a solução geral.

Passo 2

Escrevendo na forma M(x,y) + N(x,y)y’ = 0, identificamos
M(x,y) = 3x² + 4xy e N(x,y) = 2x² + 2y. Para verificar exatidão, calculamos as derivadas parciais ∂M/∂y e ∂N/∂x.

Passo 3

Calculamos
∂M/∂y = 4x
∂N/∂x = 4x
Como ∂M/∂y = ∂N/∂x em toda a região considerada, a equação é exata.

Passo 4

Já que é exata, existe uma função potencial ψ(x,y) tal que ∂ψ/∂x = M e ∂ψ/∂y = N. Integramos M em relação a x:
[\psi(x,y)=\int(3x^2+4xy),dx = x^3 + 2x^2y + h(y).]
Em seguida, usamos ∂ψ/∂y = 2x² + h’(y) e igualamos a N(x,y) = 2x² + 2y, obtendo h’(y) = 2y. Integrando, temos h(y) = y² + C.

Passo 5

Portanto, a função potencial é ψ(x,y) = x³ + 2x²y + y². A condição de constância ψ(x,y)=constante fornece a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral é x^3 + 2x^2y + y^2 = C.

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