Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
2 x y+y^3+(x^2+3 x y^2) y^prime=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
2xy + y^3 + (x^2 + 3xy^2),y' = 0
é uma equação diferencial exata e, em seguida, encontrar sua solução geral. O assunto é Equações Diferenciais Exatas: vamos precisar identificar as funções M(x,y) e N(x,y), verificar a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x e depois encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que dphi = M,dx + N,dy.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
onde
M(x,y) = 2xy + y^3,
N(x,y) = x^2 + 3xy^2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais para verificar exatidão:
partial Mpartial y = 2x + 3y^2,
partial Npartial x = 2x + 3y^2
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M(x,y) = 2xy + y^3
Integrando em relação a x:
phi(x,y) = integral (2xy + y^3),dx = x^2y + xy^3 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Agora exigimos que
partial phipartial y = N(x,y) = x^2 + 3xy^2
Calculando partialphi/partial y:
partial phipartial y = x^2 + 3xy^2 + h'(y)
Para coincidir com N(x,y), precisamos de h'(y) = 0. Logo h(y) é constante.

Passo 6

Portanto, a função potencial é
phi(x,y) = x^2y + xy^3,
e a solução geral da equação diferencial exata é dada por
x^2y + xy^3 = C,
onde C é uma constante de integração.

Resposta

x^2y + xy^3 = C

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