Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
é uma equação diferencial exata e, em seguida, encontrar sua solução geral. O assunto é Equações Diferenciais Exatas: vamos precisar identificar as funções M(x,y) e N(x,y), verificar a condição de exatidão
e depois encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma
onde
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais para verificar exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Agora exigimos que
Calculando
:
Para coincidir com
, precisamos de
. Logo
é constante.
Passo 6
Portanto, a função potencial é
e a solução geral da equação diferencial exata é dada por
onde
é uma constante de integração.
Resposta
x^2y + xy^3 = C