Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
é exata e encontrar a solução geral dela. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente aquelas que são exatas. Para resolver, vamos precisar verificar a exatidão da equação e, se for o caso, integrar adequadamente para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é:
Comparando com a equação dada, identificamos:
- $ M(x, y) = 2xy - \sin x $
- $ N(x, y) = x^{2} + e^{y} $
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos conferir se as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $ são iguais. Isso significa calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $ e ver se são iguais.
Vamos lá:
- $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2xy - \sin x) = 2x $
- $ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} + e^{y}) = 2x $
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação é realmente exata.
Passo 4
Agora que confirmamos que a equação é exata, podemos encontrar uma função $ F(x, y) $ tal que:
onde $ C $ é uma constante. Para encontrar $ F $, integramos $ M $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função de $ y $ que aparece por conta da integração.
Passo 5
Para determinar $ h(y) $, diferenciamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x, y) $:
Isso nos dá:
Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
onde $ C $ é uma constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: