Mostre que as seguintes equações são Exatas e encontre a solução geral.
2 x y-sen x+(x^2+e^y) d yd x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
2xy - sin x + (x^2 + e^y) dydx = 0
é exata e encontrar a solução geral dela. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente aquelas que são exatas. Para resolver, vamos precisar verificar a exatidão da equação e, se for o caso, integrar adequadamente para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
Comparando com a equação dada, identificamos:
  • $ M(x, y) = 2xy - \sin x $
  • $ N(x, y) = x^{2} + e^{y} $

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos conferir se as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $ são iguais. Isso significa calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $ e ver se são iguais.
Vamos lá:
  • $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2xy - \sin x) = 2x $
  • $ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} + e^{y}) = 2x $
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação é realmente exata.

Passo 4

Agora que confirmamos que a equação é exata, podemos encontrar uma função $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)
onde $ C $ é uma constante. Para encontrar $ F $, integramos $ M $ em relação a $ x $:
F(x, y) = C
Aqui, $ h(y) $ é uma função de $ y $ que aparece por conta da integração.

Passo 5

Para determinar $ h(y) $, diferenciamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x, y) $:
h(y)
Isso nos dá:
F(x, y)
Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
y
onde $ C $ é uma constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x^2 y + e^y + cos x = C

Exercícios relacionados