Mostre que as seguintes funções definem distâncias em
(onde
e
):
(a) (Distância de Manhattan)
(a) (Distância de Manhattan)
Passo 1
O que o exercício pede: provar que a função
define uma distância em
, onde
e
.
Informações dadas:
- Para cada par
a função é a soma das diferenças absolutas coordenada a coordenada.
O que precisamos mostrar (as propriedades que caracterizam uma distância):
- Não negatividade:
para todos . - Identidade dos indiscerníveis:
se, e somente se, . - Simetria:
para todos . - Desigualdade triangular:
para todos .
Passo 2
Propriedade 1 — não negatividade. Explicando passo a passo: para cada coordenada
temos
porque o valor absoluto de um número real é sempre não negativo. Somando
termos não negativos obtemos
Isso mostra que
nunca é negativo. (Intuição: cada coordenada contribui com uma distância não negativa; somando dá algo não negativo.)
Passo 3
Propriedade 2 — identidade dos indiscerníveis (duas implicações):
(i) Se
então para todo
temos
, logo
. Portanto
(ii) Se
então
. Como cada termo
é não negativo, a soma ser zero implica que cada termo é zero:
para todo
. Assim
e portanto
para todo
, ou seja
.
Juntando (i) e (ii) temos que
se, e somente se,
.
Passo 4
Propriedade 3 — simetria. Para cada coordenada
vale a igualdade
porque trocar a ordem dentro do valor absoluto não altera o resultado. Somando sobre
obtemos imediatamente
Passo 5
Propriedade 4 — desigualdade triangular. Aqui a ideia é usar a desigualdade triangular em
coordenada a coordenada e depois somar.
Primeiro, lembrando e justificando a desigualdade triangular em
: para quaisquer reais
e
vale
Uma prova rápida e elementar: sabemos que
e
. Somando as duas desigualdades obtemos
. Isso diz que o módulo de
é no máximo
, ou seja
.
Agora aplicamos isso coordenada a coordenada: para quaisquer
e cada
,
Somando essa desigualdade sobre
resulta
Pela definição de
isso é exatamente
Assim a desigualdade triangular é satisfeita.
Passo 6
Conclusão final e interpretação rápida. Verificamos todas as quatro propriedades exigidas: não negatividade, identidade dos indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular. Portanto a função
é de fato uma distância em
.
Resposta
A função
é uma distância em
.