Mostre que as seguintes funções definem distâncias em \mathbb{R}^{n} (onde x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) e y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) ):
(a) (Distância de Manhattan)
d(x, y):=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|

Passo 1

O que o exercício pede: provar que a função
d(x,y):=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|
define uma distância em \mathbb{R}^{n}, onde x=(x_{1},\dots,x_{n}) e y=(y_{1},\dots,y_{n}).
Informações dadas:
  • Para cada par x,y\in\mathbb{R}^{n} a função d(x,y) é a soma das diferenças absolutas coordenada a coordenada.
O que precisamos mostrar (as propriedades que caracterizam uma distância):
  1. Não negatividade: \;d(x,y)\ge 0 para todos x,y.
  2. Identidade dos indiscerníveis: \;d(x,y)=0 se, e somente se, x=y.
  3. Simetria: \;d(x,y)=d(y,x) para todos x,y.
  4. Desigualdade triangular: \;d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y) para todos x,y,z.

Passo 2

Propriedade 1 — não negatividade. Explicando passo a passo: para cada coordenada i temos \left|x_{i}-y_{i}\right|\ge 0 porque o valor absoluto de um número real é sempre não negativo. Somando n termos não negativos obtemos
d(x,y)=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|\ge 0.
Isso mostra que d(x,y) nunca é negativo. (Intuição: cada coordenada contribui com uma distância não negativa; somando dá algo não negativo.)

Passo 3

Propriedade 2 — identidade dos indiscerníveis (duas implicações):
(i) Se x=y então para todo i temos x_{i}-y_{i}=0, logo \left|x_{i}-y_{i}\right|=0. Portanto
d(x,y)=\sum_{i=1}^{n}0=0.
(ii) Se d(x,y)=0 então \sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|=0. Como cada termo \left|x_{i}-y_{i}\right| é não negativo, a soma ser zero implica que cada termo é zero: \left|x_{i}-y_{i}\right|=0 para todo i. Assim x_{i}-y_{i}=0 e portanto x_{i}=y_{i} para todo i, ou seja x=y.
Juntando (i) e (ii) temos que d(x,y)=0 se, e somente se, x=y.

Passo 4

Propriedade 3 — simetria. Para cada coordenada i vale a igualdade \left|x_{i}-y_{i}\right|=\left|y_{i}-x_{i}\right| porque trocar a ordem dentro do valor absoluto não altera o resultado. Somando sobre i obtemos imediatamente
d(x,y)=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|=\sum_{i=1}^{n}\left|y_{i}-x_{i}\right|=d(y,x).

Passo 5

Propriedade 4 — desigualdade triangular. Aqui a ideia é usar a desigualdade triangular em \mathbb{R} coordenada a coordenada e depois somar.
Primeiro, lembrando e justificando a desigualdade triangular em \mathbb{R}: para quaisquer reais u e v vale
\left|u+v\right|\le \left|u\right|+\left|v\right|.
Uma prova rápida e elementar: sabemos que -\left|u\right|\le u\le \left|u\right| e -\left|v\right|\le v\le \left|v\right|. Somando as duas desigualdades obtemos -\left|u\right|-\left|v\right|\le u+v\le \left|u\right|+\left|v\right|. Isso diz que o módulo de u+v é no máximo \left|u\right|+\left|v\right|, ou seja \left|u+v\right|\le\left|u\right|+\left|v\right|.
Agora aplicamos isso coordenada a coordenada: para quaisquer x,y,z\in\mathbb{R}^{n} e cada i,
\left|x_{i}-y_{i}\right|=\left|(x_{i}-z_{i})+(z_{i}-y_{i})\right| \le \left|x_{i}-z_{i}\right|+\left|z_{i}-y_{i}\right|.
Somando essa desigualdade sobre i=1,\dots,n resulta
\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right| \le \sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-z_{i}\right|+\sum_{i=1}^{n}\left|z_{i}-y_{i}\right|.
Pela definição de d isso é exatamente
d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y).
Assim a desigualdade triangular é satisfeita.

Passo 6

Conclusão final e interpretação rápida. Verificamos todas as quatro propriedades exigidas: não negatividade, identidade dos indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular. Portanto a função
d(x,y)=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|
é de fato uma distância em \mathbb{R}^{n}.

Resposta

A função d(x,y)=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right| é uma distância em \mathbb{R}^{n}.

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