Mostre que as seguintes funções definem distâncias em \mathbb{R}^{n} (onde x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) e y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) ):
(b) (Distância de Chebyshev)
d(x, y):=\max _{i}\left\{\left|x_{i}-y_{i}\right|\right\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
d(x,y):=\max_{i}\{\left|x_{i}-y_{i}\right|\}
define uma distância em \mathbb{R}^{n}, onde x=(x_{1},\ldots,x_{n}) e y=(y_{1},\ldots,y_{n}).
As informações dadas são: a fórmula de d(x,y) (máximo das diferenças absolutas coordenada a coordenada) e que x,y são vetores em \mathbb{R}^{n}.
O que precisamos verificar (isto é, as perguntas que o enunciado faz): verificar que d satisfaz as propriedades de uma métrica:
  1. d(x,y)\ge 0 para todo x,y (não negatividade);
  2. d(x,y)=0 se, e somente se, x=y (identidade dos indiscerníveis);
  3. d(x,y)=d(y,x) para todo x,y (simetria);
  4. d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z) para todo x,y,z (desigualdade triangular).

Passo 2

Propriedade: não negatividade.
Explicação/conta: para cada coordenada i vale a propriedade básica do valor absoluto:
\left|x_{i}-y_{i}\right|\ge 0.
Como d(x,y) é o máximo de um conjunto de números todos não negativos, o máximo também é não negativo. Logo
d(x,y)=\max_{i}\{\left|x_{i}-y_{i}\right|\}\ge 0.
Comentário amigo: isto é óbvio depois de lembrar que valor absoluto nunca é negativo — o máximo de coisas não negativas também não é negativo.

Passo 3

Propriedade: identidade dos indiscerníveis.
Mostramos as duas direções.
(i) Se x=y então para todo i temos \left|x_{i}-y_{i}\right|=0. Então o máximo dessas quantidades é 0, ou seja
d(x,y)=0.
(ii) Agora suponha d(x,y)=0. Pela definição de máximo, isso significa que para todo índice i vale
\left|x_{i}-y_{i}\right|\le d(x,y)=0.
Como \left|x_{i}-y_{i}\right|\ge 0 sempre, a única possibilidade é \left|x_{i}-y_{i}\right|=0 para todo i. E \left|x_{i}-y_{i}\right|=0 implica x_{i}=y_{i}. Assim todas as coordenadas coincidem e portanto x=y.
Conclusão deste passo: d(x,y)=0 se, e somente se, x=y.

Passo 4

Propriedade: simetria.
Para cada coordenada i vale a igualdade dos valores absolutos ao trocar os termos:
\left|x_{i}-y_{i}\right|=\left|y_{i}-x_{i}\right|.
Tomando o máximo sobre i em ambos os lados obtemos
d(x,y)=\max_{i}\{\left|x_{i}-y_{i}\right|\}=\max_{i}\{\left|y_{i}-x_{i}\right|\}=d(y,x).
Então d é simétrica.

Passo 5

Propriedade: desigualdade triangular. Esta é a parte que costuma assustar, mas é simples e direta se trabalharmos coordenada a coordenada.
Começamos lembrando a desigualdade triangular em \mathbb{R}: para quaisquer números reais u e v vale
|u+v|\le |u|+|v|.
Agora, para vetores x,y,z\in\mathbb{R}^{n} e para cada coordenada i escrevemos
x_{i}-z_{i}=(x_{i}-y_{i})+(y_{i}-z_{i}).
Aplicando a desigualdade triangular em \mathbb{R} com u=x_{i}-y_{i} e v=y_{i}-z_{i} obtemos
\left|x_{i}-z_{i}\right|\le \left|x_{i}-y_{i}\right|+\left|y_{i}-z_{i}\right|.
Agora note duas coisas simples: por definição de máximo, para todo i
\left|x_{i}-y_{i}\right|\le d(x,y)\quad\text{e}\quad \left|y_{i}-z_{i}\right|\le d(y,z).
Substituindo estas desigualdades na anterior obtemos, para todo i,
\left|x_{i}-z_{i}\right|\le d(x,y)+d(y,z).
Finalmente, tomando o máximo em i no lado esquerdo (pois d(x,z)=\max_{i}\{\left|x_{i}-z_{i}\right|\}) temos
d(x,z)=\max_{i}\{\left|x_{i}-z_{i}\right|\}\le d(x,y)+d(y,z).
E pronto: esta é exatamente a desigualdade triangular para d.

Passo 6

Juntando os passos anteriores vimos que d satisfaz as quatro propriedades: não negatividade, identidade dos indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular. Portanto d é uma distância (ou métrica) em \mathbb{R}^{n}. Força aí — essa métrica é muito usada (é a distância do “teto” ou Chebyshev) e agora você sabe provar todas as propriedades passo a passo.

Resposta

A função \displaystyle d(x,y)=\max_{i}\{\left|x_{i}-y_{i}\right|\} é uma distância (métrica) em \mathbb{R}^{n}.

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