Mostre que as seguintes funções definem distâncias em
(onde
e
):
(b) (Distância de Chebyshev)
(b) (Distância de Chebyshev)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
define uma distância em
, onde
e
.
As informações dadas são: a fórmula de (máximo das diferenças absolutas coordenada a coordenada) e que
são vetores em
.
O que precisamos verificar (isto é, as perguntas que o enunciado faz): verificar que satisfaz as propriedades de uma métrica:
As informações dadas são: a fórmula de
O que precisamos verificar (isto é, as perguntas que o enunciado faz): verificar que
-
para todo (não negatividade); -
se, e somente se, (identidade dos indiscerníveis); -
para todo (simetria); -
para todo (desigualdade triangular).
Passo 2
Propriedade: não negatividade.
Explicação/conta: para cada coordenada vale a propriedade básica do valor absoluto:
Explicação/conta: para cada coordenada
Como
é o máximo de um conjunto de números todos não negativos, o máximo também é não negativo. Logo
Comentário amigo: isto é óbvio depois de lembrar que valor absoluto nunca é negativo — o máximo de coisas não negativas também não é negativo.
Passo 3
Propriedade: identidade dos indiscerníveis.
Mostramos as duas direções.
Mostramos as duas direções.
(i) Se
então para todo
temos
. Então o máximo dessas quantidades é
, ou seja
(ii) Agora suponha
. Pela definição de máximo, isso significa que para todo índice
vale
Como
sempre, a única possibilidade é
para todo
. E
implica
. Assim todas as coordenadas coincidem e portanto
.
Conclusão deste passo:
se, e somente se,
.
Passo 4
Propriedade: simetria.
Para cada coordenada vale a igualdade dos valores absolutos ao trocar os termos:
Para cada coordenada
Tomando o máximo sobre
em ambos os lados obtemos
Então
é simétrica.
Passo 5
Propriedade: desigualdade triangular. Esta é a parte que costuma assustar, mas é simples e direta se trabalharmos coordenada a coordenada.
Começamos lembrando a desigualdade triangular em
: para quaisquer números reais
e
vale
Agora, para vetores
e para cada coordenada
escrevemos
Aplicando a desigualdade triangular em
com
e
obtemos
Agora note duas coisas simples: por definição de máximo, para todo
Substituindo estas desigualdades na anterior obtemos, para todo
,
Finalmente, tomando o máximo em
no lado esquerdo (pois
) temos
E pronto: esta é exatamente a desigualdade triangular para
.
Passo 6
Juntando os passos anteriores vimos que
satisfaz as quatro propriedades: não negatividade, identidade dos indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular. Portanto
é uma distância (ou métrica) em
. Força aí — essa métrica é muito usada (é a distância do “teto” ou Chebyshev) e agora você sabe provar todas as propriedades passo a passo.
Resposta
A função
é uma distância (métrica) em
.