Calcule, caso existam, os limites abaixo:
(a) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular, caso exista, o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função considerada é f(x,y)=\sin\!\left(\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\right) definida para todo (x,y)\neq(0,0) (em (0,0) a expressão não está definida).
  • Queremos saber se existe um número L tal que, quando (x,y) se aproxima de (0,0), os valores de f(x,y) se aproximem de L.
  • Não farei suposições adicionais: vou testar a existência do limite de forma construtiva.

Passo 2

Conceito útil (explicado devagar): quando se pergunta se \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe, uma maneira prática é usar sequências ou caminhos. Teorema-sequência (versão intuitiva): o limite existe e vale L se, e somente se, para toda sequência (x_n,y_n) distinta de (0,0) com (x_n,y_n)\to(0,0), a sequência f(x_n,y_n) converge para L. Portanto, se eu conseguir duas sequências (x_n,y_n)\to(0,0) tais que f(x_n,y_n) tenha limites diferentes, já posso concluir que o limite original não existe. Essa é uma estratégia muito usada em provas: buscar caminhos ou sequências que façam a função assumir valores limites distintos.

Passo 3

Mudança para coordenadas radiais (intuição): uma quantidade natural aqui é r definida por r^{2}=x^{2}+y^{2}. Quando (x,y)\to(0,0) temos r\to0^+. A função fica, em termos de r,
f(x,y)=\sin\!\left(\frac{1}{r^{2}}\right).
Então a questão é o comportamento de \sin\!\left(\dfrac{1}{r^{2}}\right) quando r\to0^+. Lembre-se: \sin é uma função oscilante entre -1 e 1. Se \dfrac{1}{r^{2}} tende para +\infty, a composição \sin(1/r^{2}) pode oscilar sem convergir. Vou construir sequências que mostrem isso de forma explícita.

Passo 4

Construo uma sequência que faz a função tender a 0. Tome pontos no eixo x (ou seja, y=0) com
x_n=\frac{1}{\sqrt{n\pi}},\qquad y_n=0,\qquad n=1,2,3,\dots
Então (x_n,y_n)\to(0,0) porque x_n\to0. Agora avalio a função:
\sin\!\left(\frac{1}{x_n^{2}+y_n^{2}}\right)=\sin\!\left(\frac{1}{x_n^{2}}\right)=\sin(n\pi)=0.
Logo, ao longo dessa sequência f(x_n,y_n)=0 para todo n, portanto a sequência de valores converge para 0.

Passo 5

Agora construo uma sequência que faz a função tender a 1. Ainda no eixo y=0, escolha
x_n=\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{2}+2\pi n}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{(4n+1)\pi}{2}}},\qquad y_n=0,\qquad n=0,1,2,\dots
Novamente (x_n,y_n)\to(0,0) pois x_n\to0. Avaliando:
\frac{1}{x_n^{2}+y_n^{2}}=\frac{1}{x_n^{2}}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,
portanto
\sin\!\left(\frac{1}{x_n^{2}+y_n^{2}}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)=1.
Logo, ao longo dessa outra sequência f(x_n,y_n)=1 para todo n, e a sequência de valores converge para 1.

Passo 6

Conclusão lógica: encontrei duas sequências (x_n,y_n)\to(0,0) — a do Passo 4 e a do Passo 5 — tais que f(x_n,y_n) converge para 0 na primeira e para 1 na segunda. Pelo critério de sequências, isso mostra que não existe um único número L para o qual f(x,y) converge quando (x,y)\to(0,0). Portanto o limite não existe. Intuição final: embora \sin seja sempre entre -1 e 1, a frequência crescente de \sin(1/r^{2}) quando r\to0 faz a função oscilar arbitrariamente entre valores diferentes, impedindo um único limite.

Resposta

Não existe.

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