Calcule, caso existam, os limites abaixo:
(a)
Passo 1
O enunciado pede: calcular, caso exista, o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A função considerada é
definida para todo (em a expressão não está definida). - Queremos saber se existe um número
tal que, quando se aproxima de , os valores de se aproximem de . - Não farei suposições adicionais: vou testar a existência do limite de forma construtiva.
Passo 2
Conceito útil (explicado devagar): quando se pergunta se
existe, uma maneira prática é usar sequências ou caminhos. Teorema-sequência (versão intuitiva): o limite existe e vale
se, e somente se, para toda sequência
distinta de
com
, a sequência
converge para
. Portanto, se eu conseguir duas sequências
tais que
tenha limites diferentes, já posso concluir que o limite original não existe. Essa é uma estratégia muito usada em provas: buscar caminhos ou sequências que façam a função assumir valores limites distintos.
Passo 3
Mudança para coordenadas radiais (intuição): uma quantidade natural aqui é
definida por
. Quando
temos
. A função fica, em termos de
,
Então a questão é o comportamento de
quando
. Lembre-se:
é uma função oscilante entre
e
. Se
tende para
, a composição
pode oscilar sem convergir. Vou construir sequências que mostrem isso de forma explícita.
Passo 4
Construo uma sequência que faz a função tender a
. Tome pontos no eixo
(ou seja,
) com
Então
porque
. Agora avalio a função:
Logo, ao longo dessa sequência
para todo
, portanto a sequência de valores converge para
.
Passo 5
Agora construo uma sequência que faz a função tender a
. Ainda no eixo
, escolha
Novamente
pois
. Avaliando:
portanto
Logo, ao longo dessa outra sequência
para todo
, e a sequência de valores converge para
.
Passo 6
Conclusão lógica: encontrei duas sequências
— a do Passo 4 e a do Passo 5 — tais que
converge para
na primeira e para
na segunda. Pelo critério de sequências, isso mostra que não existe um único número
para o qual
converge quando
. Portanto o limite não existe. Intuição final: embora
seja sempre entre
e
, a frequência crescente de
quando
faz a função oscilar arbitrariamente entre valores diferentes, impedindo um único limite.
Resposta
Não existe.